§ 10. Уравнение движения тела переменной массы
Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ра­кеты уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.
Выведем уравнение движения тела пе­ременной массы на примере движения ра­кеты. Если в момент времени t масса раке­ты т, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm
и станет равной т-dm, а скорость станет равной v+dv. Изменение импульса систе­мы за отрезок времени dt
dp = [(m-dm) (v+dv)+dm (v + u)]- mv,
где и — скорость истечения газов относи­тельно ракеты. Тогда
dp = mdv + udm
(учли, что dm dv — малый высшего порядка малости по сравнению с осталь­ными).
Если  на  систему действуют  внешние силы, то dp = Fdt, поэтому
Fdt = mdv + udm,
mdv/dt=F-udm/dt.     (10.1)
Член -udm/dt называют реактивной силой
at
Fp. Если u противоположен v, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормо­зится.
Таким образом, мы получили уравне­ние движения тела переменной массы
ma=F + Fp, (10.2)
которое впервые было выведено И. В.Ме­щерским (1859—1935).
Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказы­валась в 1881 г. Н. И. Кибальчичем (1854—1881). К.Э.Циолковский (1857— 1935) в 1903 г. опубликовал статью, где
предложил теорию движения ракеты и ос­новы теории жидкостного реактивного двигателя. Поэтому его считают основате­лем отечественной космонавтики.
Применим уравнение (10.1) к движе­нию ракеты, на которую не действуют ни­какие внешние силы. Полагая F = 0 и счи­тая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим
dv dm т dv/dt=-udm/dt. откуда

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ра­кеты равна нулю, а ее стартовая масса то, то С = uln m0. Следовательно,
v = uln(m0/m). (10.3)
Это соотношение называется формулой Циолковского. Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты т, тем больше должна быть стартовая масса ракеты то; 2) чем больше скорость истече­ния и газов, тем больше может быть ко­нечная масса при данной стартовой массе ракеты.
Выражения (10.2) и (10.3) получены для нерелятивистских движений, т. е. для случаев, когда скорости v и u малы по сравнению со скоростью света с.