§ 15.  Удар абсолютно упругих и неупругих тел
Примером применения законов сохране­ния импульса и энергии при решении ре­альной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.
Удар (или соударение) — это столкно­вение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Исходя из данного определения, кроме явлений, которые можно отнести к ударам в прямом смысле этого слова

28
(столкновения атомов или биллиардных шаров), сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. д. При ударе в телах воз­никают столь значительные внутренние силы, что внешними силами, действующи­ми на них, можно пренебречь. Это по­зволяет рассматривать соударяющиеся те­ла как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.
Тела во время удара претерпевают деформацию. Сущность удара заключает­ся в том, что кинетическая энергия относи­тельного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара име­ет место перераспределение энергии меж­ду соударяющимися телами. Наблюдения показывают, что относительная скорость тел после удара не достигает своего пре­жнего значения. Это объясняется тем, что нет идеально упругих тел и идеально глад­ких поверхностей. Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и до удара называется коэффици­ентом восстановления e:
e = v'n/vn.
Если для сталкивающихся тел e=0, то такие тела называются абсолютно неупру­гими, если e=1—абсолютно упругими.
На практике для всех тел 0<e<1 (например, для стальных шаров e»0,56, для шаров из слоновой кости e»0,89, для свинца e»0). Однако в не­которых случаях тела можно с большой точностью рассматривать либо как абсо­лютно упругие, либо как абсолютно не­упругие.
Прямая, проходящая через точку со­прикосновения тел и нормальная к повер­хности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется централь­ным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсо­лютно неупругие удары.
Абсолютно упругий удар — столкнове­ние двух тел, в результате которого в обо­их взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинети­ческую энергию

.
Для абсолютно упругого удара вы­полняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.
Обозначим скорости шаров массами m1и m2 до удара через v1 и v2, после удара — через v'1 и v'2 (рис. 18). При пря­мом центральном ударе векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное значение припи­шем движению вправо, отрицательное — движению влево.
При указанных допущениях законы сохранения имеют вид

Произведя соответствующие преобра­зования в выражениях (15.1) и (15.2), по­лучим

Решая уравнения (15.3) и (15.5), находим

Разберем несколько примеров.

29

Проанализируем выражения (15.8) и (15.9) для двух шаров различных масс:
а) m1 =m2.Если второй шар до удара висел неподвижно (v2=0)(рис. 19), то после удара остановится первый шар (v'1=0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара (v'2 = v1);
б) m1>m2.

Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (v'1<v1). Скорость второго шара после удара боль­ше, чем скорость первого после удара (v'2>v'1) (рис.20);

в) m1<m2. Направление движения первого шара при ударе изменяется — шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т.е. v'2<v1(рис. 21);
г) m2>>m1(например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (15.8) и (15.9) следует, что v'1=-v1, v'2»2m1v1/m2»0.

2) При m1=m2 выражения (15.6) и (15.7) будут иметь вид
v'1=v2,   v'2=v1,
т. е. шары равной массы «обмениваются» скоростями.
Абсолютно неупругий удар — столкно­вение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое.

Продемонстрировать абсолют­но неупругий удар можно с помощью ша­ров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 22).
Если массы шаров m1и m2, их скоро­сти до удара v1 и v2, то, используя закон сохранения импульса, можно записать

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигал­ся шар, обладающий большим импульсом. В частном случае если массы шаров равны (m1=m2), то
v = (v1+v2)/2.
Выясним, как изменяется кинетиче­ская энергия шаров при центральном аб­солютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними дей-

30
ствуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механи­ческой энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит «по­теря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии. Эту «потерю» можно определить по раз­ности кинетической энергии тел до и после удара:

Если  ударяемое  тело  было  первона­чально неподвижно (v2=0), то

Когда m2>>m1(масса неподвижного тела очень большая), то v<<v1и почти вся кинетическая энергия тела при ударе пере­ходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной де­формации наковальня должна быть мас­сивнее молотка. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молотка должна быть гораздо большей (m1>>m2), тогда v»v1и практически вся энергия затрачи­вается на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.
Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит «потеря» механиче­ской энергии под действием диссипативных сил.