§ 2. Скорость
Для характеристики движения материаль­ной точки вводится векторная величина — скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный момент времени.
Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ей соответ­ствует радиус-вектор r0 (рис. 3). В течение малого промежутка времени Dt точка прой­дет путь As и получит элементарное (бес­конечно малое) перемещение Dr.
Вектором средней скорости <v> назы­вается отношение приращения Dr радиуса-вектора точки к промежутку времени Dt:

Направление вектора средней скоро­сти совпадает с направлением Dr. При неограниченном уменьшении Dt средняя скорость стремится к предельному значе­нию, которое называется мгновенной ско­ростью v:

Мгновенная скорость v, таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущей­ся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касатель­ной к траектории в сторону движения (рис. 3). По мере уменьшения Dt путь Ds все больше будет приближаться к |Dr|, поэтому модуль мгновенной скорости

Таким образом, модуль мгновенной скоро­сти равен первой производной пути по времени:

При неравномерном движении модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величиной (v) —средней ско­ростью неравномерного движения:

Если выражение ds = vdt(см. форму­лу (2.2)) проинтегрировать по времени в пределах от t до t+Dt, то найдем длину пути, пройденного точкой за время Dt:

В случае равномерного движения число­вое значение мгновенной скорости посто­янно; тогда выражение (2.3) примет вид

Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t1до t2, дается интегралом