§ 3.  Ускорение и его составляющие
В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величи­ной, характеризующей быстроту измене­ния скорости по модулю и направлению, является ускорение.
Рассмотрим плоское движение, т. е. такое, при котором все участки тра­ектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор v задает скорость точки

А в момент времени t. За время Dtдвижу­щаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению и равную v1=v + Dv. Перенесем вектор v1 в точку А и найдем Dv (рис.4).
Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t+Dt на­зывается векторная величина, равная от­ношению изменения скорости Dv к интер­валу времени Dt:

Мгновенным ускорением а (ускорени­ем) материальной точки в момент време­ни t будет предел среднего ускорения:

Таким образом, ускорение а есть вектор­ная величина, равная первой производной скорости по времени.
Разложим вектор Dv на две составля­ющие. Для этого из точки А (рис. 4) по направлению скорости v отложим вектор
AD, по модулю равный v1. Очевидно, что вектор CD, равный Dvt, определяет изме­нение скорости по модулю за время Dt: Dvt=v1- v. Вторая же составляющая вектора Dv-Dvn характеризует изменение скорости за время Dt по направлению.
Тангенциальная составляющая уско­рения

т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю. Найдем вторую составляющую ускоре­ния. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому As можно счи­тать дугой окружности некоторого радиу­са r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует Dvn/AB = v1/r, но так как AB = vDt, то

В пределе при Dt®0 получим v1®v.
Поскольку v1®v, угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равно­бедренный, то угол ADE между v и Dvn стремится к прямому. Следовательно, при Dt®0 векторы Dvn и v оказываются взаим­но перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к тра­ектории, то вектор Dvn, перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускоре­ния, равная

называется нормальной составляющей ус­корения и направлена по нормали к тра­ектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).
Полное ускорение тела есть геометри­ческая сумма тангенциальной и нормаль­ной составляющих (рис.5):

Итак,   тангенциальная  составляющая ускорения характеризует  быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения — быстроту из­менения скорости по направлению (на­правлена к центру кривизны траекто­рии).

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения дви­жение можно классифицировать следую­щим образом:
1) аt=0, аn = 0 — прямолинейное рав­номерное движение;
2) at=a=const, an=0 — прямолиней­ное равнопеременное движение. При та­ком виде движения

Если начальный момент времени t1=0, а начальная скорость v1=v0, то, обозна­чив t2 = t и v2 = v, получим a = (v-v0)/t, откуда
v =v0+at.
Проинтегрировав эту формулу в пре­делах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, прой­денного точкой, в случае равнопеременно­го движения

3)     аt=f(t),    аn=0 — прямолинейное движение с переменным ускорением;
4) аt=0, аn=const. При аt=0 ско­рость по модулю не изменяется, а изменя­ется по направлению. Из формулы аn= v2/r следует, что радиус кривизны до­лжен быть постоянным. Следовательно, движение по окружности является равно­мерным;
5) аt=0, аn¹0 — равномерное кри­волинейное движение;
6) at=const, an¹0—криволинейное равнопеременное движение;
7) at= f(t), an¹0 — криволинейное движение с переменным ускорением.