§21. Деформации твердого тела

Рассматривая механику твердого тела, мы пользовались понятием абсолютно твердо­го тела. Однако в природе абсолютно твердых тел нет, так как все реальные тела под действием сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются.

Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму. Деформации, которые сохраня-

 

 

39

ются в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими (или остаточными). Деформации реально­го тела всегда пластические, так как они после прекращения действия внешних сил никогда полностью не исчезают. Однако если остаточные деформации малы, то ими можно пренебречь и рассматривать уп­ругие деформации, что мы и будем де­лать.

В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к одновременно происходя­щим деформациям растяжения или сжа­тия и сдвига.

Рассмотрим однородный стержень длиной l и площадью поперечного сечения S (рис. 34), к концам которого приложены направленные вдоль его оси силы f₁ и F₂ (F₁=F₂=F), в результате чего длина стер­жня меняется на величину Dl. Естествен­но, что при растяжении Dl положительно, а при сжатии — отрицательно.

Сила, действующая на единицу пло­щади поперечного сечения, называется на­пряжением:

s=F/S. (21.1)

Если сила направлена по нормали к по­верхности, напряжение называется нор­мальным, если же по касательной к по­верхности — тангенциальным.

Количественной мерой, характеризую­щей степень деформации, испытываемой телом, является его относительная дефор­мация. Так, относительное изменение дли­ны стержня (продольная деформация)

e=Dl/l, (21.2) относительное     поперечное     растяжение

(сжатие)

e' = Dd/d, где d -— диаметр стержня.

Деформации e и e' всегда имеют раз­ные знаки (при растяжении Dl положи­тельно, a Ad отрицательно, при сжатии Dl отрицательно, a Ad положительно). Из опыта вытекает взаимосвязь e и e':

e'=-me,

где m — положительный коэффициент, за­висящий от свойств материала, называе­мый коэффициентом Пуассона.

Английский физик Р. Гук (1635— 1703) экспериментально установил, что для малых деформаций относительное уд­линение e и напряжение s прямо про­порциональны друг другу:

s = Ee, (21.3)

где коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга. Из вы­ражения (21.3) видно, что модуль Юнга определяется напряжением, вызывающим относительное удлинение, равное единице. Из формул (21.2), (21.3) и (21.1) вы­текает, что

где k — коэффициент упругости. Выраже­ние (21.4) также задает закон Гука, со­гласно которому удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе.

Деформации твердых тел подчиняются закону Гука до известного предела. Связь между деформацией и напряжением пред­ставляется в виде диаграммы напряже­ний, которую мы качественно рассмотрим для металлического образца (рис. 35). Из рисунка видно, что линейная зависимость s (e), установленная Гуком, выполняется

 

 

40

лишь в очень узких пределах до так на­зываемого предела пропорциональности (s_п). При дальнейшем увеличении напря­жения деформация еще упругая (хотя за­висимость s (e) уже не линейна) и до пре­дела упругости (s_у) остаточные деформа­ции не возникают. За пределом упругости в теле возникают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в первоначальное состояние после прекра­щения действия силы, изобразится не кри­вой ВО, а параллельной ей — CF. Напря­жение, при котором появляется заметная остаточная деформация (~=0,2 %), назы­вается пределом текучести (s_т) — точка С на кривой. В области CD деформация возрастает без увеличения напряжения, т. е. тело как бы «течет». Эта область называется областью текучести (или об­ластью пластических деформаций). Мате­риалы, для которых область текучести значительна, называются вязкими, для ко­торых же она практически отсутствует — хрупкими. При дальнейшем растяжении (за точку D) происходит разрушение тела. Максимальное напряжение, возникающее в теле до разрушения, называется преде­лом прочности (s_p).

Диаграмма напряжений для реальных твердых тел зависит от различных факто­ров. Одно и то же твердое тело может при кратковременном действии сил проявлять себя как хрупкое, а при длительных, но слабых силах является текучим.

Вычислим потенциальную энергию упругорастянутого (сжатого) стержня, кото­рая равна работе, совершаемой внешними силами при деформации:

где х — абсолютное удлинение стержня, изменяющееся в процессе деформации от 0 до Dl. Согласно закону Гука (21.4), F=kx=ESx/l. Поэтому

т. е. потенциальная энергия упругорастянутого стержня пропорциональна квадра­ту деформации (Dl)².

Деформацию сдвига проще всего осу­ществить, если взять брусок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, и приложить к нему силу F_tau (рис.36), касательную к его поверхности (нижняя часть бруска закреплена неподвижно). Относительная деформация сдвига опре­деляется из формулы

tgg = Ds/h,

где Ds — абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга; h — расстояние между слоями (для малых уг­лов tgg»g).