§ 17. Кинетическая энергия вращения

Рассмотрим абсолютно твердое тело (см. § 1), вращающееся около неподвиж­ной оси z, проходящей через него (рис. 24). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными мас­сами m₁, m₂, ..., m_n, находящиеся на рас­стоянии r₁, r₂, ..., r_n от оси вращения. При вращении твердого тела относительно не­подвижной оси отдельные его элементар­ные объемы массами m_i, опишут окружно­сти различных радиусов r_i и имеют раз­личные линейные скорости v_i. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое те­ло, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

w = v₁/r₁ = v₂/r₂ = ... = v_n/r_n.   (17.1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энер­гий его элементарных объемов:

 

 

33

или

Используя выражение (17.1), получим

где J_z — момент инерции тела относитель­но оси 2. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

T_вр = J_zw²/2.  (17.2)

Из сравнения формулы (17.2) с вы­ражением (12.1) для кинетической энер­гии тела, движущегося поступательно (T= mv²/2), следует, что момент инерции вращательного движения — мера инер­тности тела. Формула (17.2) справедлива для тела, вращающегося вокруг непод­вижной оси.

В случае плоского движения тела, на­пример цилиндра, скатывающегося с на­клонной плоскости без скольжения, энер­гия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вра­щения:

где m — масса катящегося тела; v_c — ско­рость центра масс тела; J _с — момент инерции тела относительно оси, проходя­щей через его центр масс; w — угловая скорость тела.