42

§ 30. Уравнение Бернулли и следствия из него

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S₁ и S₂, по которой слева направо течет жидкость (рис. 47). Пусть в месте сечения S₁ скорость течения v₁, давление р₁ и высота, на которой это сечение расположено, h₁. Аналогично, в месте сечения S₂ скорость тече-

ния v₂, давление р₂ и высота сечения h₂. За малый промежуток времени Dt жидкость перемещается от сечений S₁ и S₂ к сечениям S'₁ и S'₂.

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии E₂-Е₁ идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы от жидкости:

E₂-E₁=A, (30.1)

где E₁ и Е₂ — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S₁ и S₂ соответственно.

С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S₁и S₂, за рассматриваемый малый промежуток времени Dt. Для перенесения массы т от S₁ до S'₁ жидкость должна переместиться на расстояние l1= v₁Dt и от S₂ до S'₂ — на расстояние l₂= v₂Dt. Отметим, что l₁ и l₂ настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 47, приписывают постоянные значения скорости v, давления р и высоты h. Следовательно,

A = F₁l₁+F₂l₂, (30.2)

где F₁=p₁S₁ и f₂=-р₂S₂ (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; рис.47).

Полные энергии Е₁ и e₂ будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и приравнивая (30.1) и (30.2), получим

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (29.1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.

Разделив выражение (30.5) на DV, получим

где r — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

Выражение (30.6) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.

Величина р в формуле (30.6) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина rv²/2 — динамическим давлением. Как уже указывалось выше (см. § 28), величина rgh представляет собой гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h₁=h₂) выражение (30.6) принимает вид

где р+rv²/2 называется полным давлением.

Из уравнения Бернулли (30.7) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (29.1) следует, что при те-

чении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров (рис.48). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.

Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито — Прандтля (рис.49). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р₀), с помощью другой — статическое (р). Манометром измеряется разность давлений:

p₀-p = r₀gh, (30.8)

где r — плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:

p₀-p=pv²/2. (30.9)

Из формул (30.8) и (30.9) получаем искомую скорость потока жидкости:

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис. 50). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст. = 133,32 Па).

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис.51).

Рассмотрим два сечения (на уровне h₁свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h₂ выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли:

Так как давления р₁ и р₂ в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны

атмосферному, т. е. p₁=p₂, то уравнение будет иметь вид

Из уравнения неразрывности (29.1) следует, что v₂/v₁=S₁/S₂, где S₁ и S₂ — площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S₁>>S₂, то членом v²₁/2 можно пренебречь и

Это выражение получило название формулы Торричелли .