§ 37.  Следствия из преобразований Лоренца

1. Одновременность событий в разных системах отсчета. Пусть в системе K в точ­ках с координатами х₁ и x₂ в моменты времени t₁ и t₂ происходят два события.

 

 

64

В системе К' им соответствуют координа­ты х'₁ и x'₂ и моменты времени t'₁ и t'₂. Если события в системе К происходят в одной точке (х₁=х₂) и являются одновременны­ми (t₁=t₂), то, согласно преобразованиям Лоренца (36.3),

x'₁=x'₂,t'₁=t'₂

т. е. эти события являются одновременны­ми и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета.

Если события в системе К простран­ственно разобщены (х₁¹х₂), но одновре­менны (t₁=t₂), то в системе К', согласно преобразованиям Лоренца (36.3),

Таким образом, в системе К' эти события, оставаясь пространственно разобщенны­ми, оказываются и неодновременными. Знак разности t'₂- t'₁ определяется знаком выражения v(x₁-x₂), поэтому в различ­ных точках системы отсчета К' (при раз­ных v) разность t'₂-t'₁ будет различной по величине и может отличаться по знаку. Следовательно, в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие пред­шествует первому. Сказанное, однако, не относится к причинно-следственным собы­тиям, так как можно показать, что по­рядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

2. Длительность событий в разных системах отсчета. Пусть в некоторой точке (с координатой х), покоящейся относи­тельно системы К, происходит событие, длительность которого (разность показа­ний часов в конце и начале события) t=t₂-t₁, где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность

этого же события в системе К

t'=t'₂-t'₁, (37.1)

причем началу и концу события, согласно (36.3), соответствуют

Подставляя (37.2) в (37.1), получим

Из соотношения (37.3) вытекает, что t<t', т. е. длительность события, проис­ходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, отно­сительно которой эта точка неподвижна. Этот результат может быть еще истолко­ван следующим образом: интервал време­ни t', отсчитанный по часам в системе К', с точки зрения наблюдателя в системе К, продолжительнее интервала т, отсчитан­ного по его часам. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоя­щихся часов, т. е. ход часов замедляется в системе отсчета, относительно которой часы движутся. На основании относитель­ности понятий «неподвижная» и «движу­щаяся» системы соотношения для t и t' обратимы. Из (37.3) следует, что замедле­ние хода часов становится заметным лишь при скоростях, близких к скорости света в вакууме.

В связи с обнаружением релятивист­ского эффекта замедления хода часов в свое время возникла проблема «парадок­са часов» (иногда рассматривается как «парадокс близнецов»), вызвавшая много­численные дискуссии. Представим себе, что осуществляется фантастический кос­мический полет к звезде, находящейся на расстоянии 500 световых лет (расстояние, на которое свет от звезды до Земли до­ходит за 500 лет), со скоростью, близкой

 

 

65

к скорости света (Ö(1-b²) = 0,001). По зем­ным часам полет до звезды и обратно продлится 1000 лет, в то время как для системы корабля и космонавта в нем такое же путешествие займет всего 1 год. Таким образом, космонавт возвратится на Землю

в 1/Ö(1-b²) раз более молодым, чем его брат-близнец, оставшийся на Земле. Это явление, получившее название парадокса близнецов, в действительности парадокса не содержит. Дело в том, что принцип относительности утверждает равноправ­ность не всяких систем отсчета, а только инерциальных. Неправильность рассужде­ния состоит в том, что системы отсчета, связанные с близнецами,— не эквивалент­ны: земная система инерциальна, а кора­бельная — неинерциальна, поэтому к ним принцип относительности неприменим.

Релятивистский эффект замедления хода часов является совершенно реаль­ным и получил экспериментальное под­тверждение при изучении нестабильных, самопроизвольно распадающихся элемен­тарных частиц в опытах с p-мезонами. Среднее время жизни покоящихся p-мезо­нов (по часам, движущимся вместе с ни­ми) t»2,2•10^-8с. Следовательно, p-ме­зоны, образующиеся в верхних слоях ат­мосферы (на высоте «30 км) и движущи­еся со скоростью, близкой к скорости света, должны были бы проходить рассто­яния сt»6,6 м, т. е. не могли бы достигать земной поверхности, что противоречит действительности. Объясняется это реля­тивистским эффектом замедления хода времени: для земного наблюдателя срок

жизни p-мезона t' =t/Ö(1-b²), а путь этих

частиц в атмосфере vt'= (bct'= bct/Ö(1-b²). Так как b»1, то vt'>>сt.

3. Длина тел в разных системах отсче­та. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х' и покоящийся относительно системы К'. Длина стержня в системе К' будет l'₀=x'₂ -х'₁, где х'₁ и х'₂ — не изменя­ющиеся со временем t' координаты начала и конца стержня, а индекс 0 показывает, что в системе отсчета К' стержень покоит­ся. Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью v. Для этого необхо­димо измерить координаты его концов х₁ и x₂ в системе K в один и тот же момент времени t. Их разность l= х₂-х₁ и даст длину стержня в системе К. Используя преобразования Лоренца (36.3), полу­чим

Таким образом, длина стержня, измерен­ная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, из­меренной в системе, относительно которой стержень покоится. Если стержень покоит­ся в системе К, то, определяя его длину в системе К', опять-таки придем к выраже­нию (37.4).

Из выражения (37.4) следует, что ли­нейный размер тела, движущегося относи­тельно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения

в Ö(1-b²) раз, т. е. так называемое лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Из второго и третьего уравнений преобразований Ло­ренца (36.3) следует, что

y'₂-y'₁=y₂-y₁ и z'₂ - z'₁=z₂ - z₁ ,

т. е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Та­ким образом, линейные размеры тела наи­большие в той инерциальной системе от­счета, относительно которой тело покоит­ся.

4. Релятивистский закон сложения скоростей. Рассмотрим движение матери­альной точки в системе К', в свою очередь движущейся относительно системы К со скоростью v. Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К дви­жение точки в каждый момент времени t определяется координатами х, у, z, а в системе К,' в момент времени t' —

 

 

66

координатами х' , у' , z' , то

представляют собой соответственно проек­ции на оси х, у, z и х', у', z' вектора скоро­сти рассматриваемой точки относительно систем K и K'.

Согласно   преобразованиям   Лоренца (36.3),

Произведя соответствующие преобразова­ния, получаем релятивистский закон сло­жения скоростей специальной теории от­носительности:

Если материальная точка движется параллельно оси х, то скорость u относи­тельно системы К. совпадает с u_х, а скоро­сть u' относительно К' — с u'_х. Тогда закон сложения скоростей примет вид

Легко убедиться в том, что если скоро­сти v, u' и u малы по сравнению со скоро­стью света с, то формулы (37.5) и (37.6) переходят в закон сложения скоростей

в классической механике (см. (34.4)). Та­ким образом, законы релятивистской ме­ханики в предельном случае для малых скоростей (по сравнению со скоростью света) переходят в законы классической физики, которая, следовательно, является частным случаем механики Эйнштейна для малых скоростей.

Релятивистский закон сложения ско­ростей подчиняется второму постулату Эй­нштейна (см. §35). Действительно, если u' = с, то формула (37.6) примет вид u= (c+v)/(1+cv/c)=с (аналогично можно показать, что при u =с скорость u' также рав­на с). Этот результат свидетельствует о том, что релятивистский закон сложения скоростей находится в согласии с постула­тами Эйнштейна.

Докажем также, что если складывае­мые скорости сколь угодно близки к скоро­сти света с, то их результирующая ско­рость будет всегда меньше или равна с. В качестве примера рассмотрим предель­ный случай u' = v = c. После подстановки в формулу (37.6) получим u=с. Таким образом, при сложении любых скоростей результат не может превысить скорости света с в вакууме. Скорость света в вакуу­ме есть предельная скорость, которую не­возможно превысить. Скорость света в ка­кой-либо среде, равная с/n (n — абсолют­ный показатель преломления среды), предельной величиной не является (под­робнее см. § 189).