§215. Соотношение неопределенностей

Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для опи­сания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому приписывать им все свойст­ва частиц и все свойства волн нельзя. Естественно, что необходимо внести не­которые ограничения в применении к объектам микромира понятий классиче­ской механики.

В классической механике всякая частица движется по определенной тра­ектории, так что в любой момент времени точно фиксированы ее координата и им­пульс. Микрочастицы из-за наличия у них волновых свойств существенно отличают­ся от классических частиц. Одно из основ­ных различий заключается в том, что не­льзя говорить о движении микрочастицы по определенной траектории и неправо­мерно говорить об одновременных точных значениях ее координаты и импульса. Это следует из корпускулярно-волнового дуа­лизма. Так, понятие «длина волны в дан­ной точке» лишено физического смысла, а поскольку импульс выражается через длину волны (см. (213.1)), то отсюда сле­дует, что микрочастица с определенным импульсом имеет полностью неопределен­ную координату. И наоборот, если микро­частица находится в состоянии с точным значением координаты, то ее импульс яв­ляется полностью неопределенным.

В. Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с во­лновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел в 1927 г. к выводу, что объект микромира невозможно одно­временно с любой наперед заданной точ­ностью характеризовать и координатой и импульсом. Согласно соотношению не­определенностей Гейзенберга, микроча­стица (микрообъект) не может иметь од­новременно и определенную координату (х, у, z), и определенную соответствующую проекцию импульса (р_х, р_у, р_z), причем не­определенности этих величин удовлетворя­ют условиям

т. е.  произведение неопределенностей ко­ординаты и соответствующей ей проекции

 

344

импульса не может быть меньше величины порядка h.

Из соотношения неопределенностей (215.1) следует, что, например, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты (Dx=0), то в этом состоянии соответствующая про­екция ее импульса оказывается совершен­но неопределенной (Dр_x®¥), и наобо­рот. Таким образом, для микрочастицы не существует состояний, в которых ее ко­ординаты и импульс имели бы одновремен­но точные значения. Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновре­менно с любой наперед заданной точно­стью измерить координату и импульс микрообъекта.

Поясним, что соотношение неопределенно­стей действительно вытекает из волновых свойств микрочастиц. Пусть поток электронов проходит через узкую щель шириной Dх, распо­ложенную перпендикулярно направлению их движения (рис.295). Так как электроны обла­дают волновыми свойствами, то при их про­хождении через щель, размер которой сравним с длиной волны де Бройля l электрона, на­блюдается дифракция. Дифракционная карти­на, наблюдаемая на экране (Э), характеризует­ся главным максимумом, расположенным сим­метрично оси Y, и побочными максимумами по обе стороны от главного (их не рассматриваем, так как основная доля интенсивности приходит­ся на главный максимум).

До прохождения через щель электроны дви­гались вдоль оси К, поэтому составляющая им­пульса р_x=0, так что Dр_x=0, а координа­та х частицы является совершенно неопреде­ленной. В момент прохождения электронов через щель их положение в направлении оси X определяется с точностью до ширины

щели, т. е. с точностью Dx. В этот же момент вследствие дифракции электроны отклоняются от первоначального направления и будут дви­гаться в пределах угла 2j (j — угол, соответ­ствующий первому дифракционному миниму­му). Следовательно, появляется неопределен­ность в значении составляющей импульса вдоль оси X, которая, как следует из рис. 295 и форму­лы (213.1), равна

Dр_х=рsinj=(h/l)sinj. (215.2)

А

Для простоты ограничимся рассмотрением только тех электронов, которые попадают на экран в пределах главного максимума. Из тео­рии дифракции (см. § 179) известно, что первый минимум соответствует углу j, удовлетворяю­щему условию

Dxsinj=l, (215.3)

где Dx — ширина щели, а l — длина волны де Бройля. Из формул (215.2) и (215.3) получим

DxDp_x=h,

учитывая, что для некоторой, хотя и незначи­тельной, части электронов, попадающих за пре­делы главного максимума, величина Dр_x³psinj. Следовательно, получаем выражение

DxDp_x³h, т.е. соотношение неопределенностей  (215.1).

Невозможность одновременно точно определить координату и соответствую­щую составляющую импульса не связана с несовершенством методов измерения или измерительных приборов, а является след­ствием специфики микрообъектов, отра­жающей особенности их объективных свойств, а именно двойственной корпускулярно-волновой природы. Соотношение не­определенностей получено при одновре­менном использовании классических ха­рактеристик движения частицы (коорди­наты, импульса) и наличия у нее волновых свойств. Так как в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопре­деленностей является, таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Соотношение неопределенностей, отра­жая специфику физики микрочастиц, по­зволяет оценить, например, в какой мере

 

 

345

можно применять понятия классической механики к микрочастицам, в частности с какой степенью точности можно гово­рить о траекториях микрочастиц. Извест­но, что движение по траектории характе­ризуется в любой момент времени опреде­ленными значениями координат и скоро­сти. Выразим соотношение неопределенно­стей (215.1) в виде

DxDv_x³h/m. (215.4)

Из этого выражения следует, что чем больше масса частицы, тем меньше не­определенности ее координаты и скоро­сти и, следовательно, с тем большей точ­ностью можно применять к этой ча­стице понятие траектории. Так, напри­мер, уже для пылинки массой 10^-12 кг и линейными размерами 10^-6 м, коор­дината которой определена с точностью до 0,01 ее размеров (Dх=10^-8 м), не­определенность скорости, по (215.4), Dv_x = 6,62•10^-34/(10^-8•10^-12) м/с= 6,62•10^-14 м/с, т.е. не будет сказы­ваться при всех скоростях, с которыми пылинка может двигаться. Таким образом, для макроскопических тел их волновые свойства не играют никакой роли; коорди­ната и скорость макротел могут быть од­новременно измерены достаточно точно. Это же означает, что для описания движе­ния макротел с абсолютной достоверно­стью можно пользоваться законами клас­сической механики.

Предположим, пучок электронов дви­жется вдоль оси х со скоростью v=10⁸м/с, определяемой с точностью до 0,01 % (Dv_x»10⁴ м/с). Какова точность определения координаты электрона? По формуле (215.4),

т. е. положение электрона может быть оп­ределено с точностью до тысячных долей миллиметра. Такая точность достаточна, чтобы можно было говорить о движении электронов по определенной траектории,

иными словами, описывать их движение законами классической механики.

Применим соотношение неопределен­ностей к электрону, движущемуся в атоме водорода. Допустим, что неопределенность координаты электрона Dх»10^-10 м (по­рядка размеров самого атома, т. е. можно считать, что электрон принадлежит дан­ному атому). Тогда, согласно (215.4), Dv_x=6,62•10^-34/(9,11•10^-31•10^-10)=7,27'•10⁶ м/с. Используя законы класси­ческой физики, можно показать, что при движении электрона вокруг ядра по круго­вой орбите радиуса »0,5•10^-10 м его ско­рость v»2,3•10⁶ м/с. Таким образом, не­определенность скорости в несколько раз больше самой скорости. Очевидно, что в данном случае нельзя говорить о движе­нии электрона в атоме по определенной траектории, иными словами, для описания движения электрона в атоме нельзя поль­зоваться законами классической физики.

В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии Е и времени t, т. е. неопреде­ленности этих величин удовлетворяют ус­ловию

DEDt³h. (215.5)

Подчеркнем, что DE — неопределенность энергии системы в момент ее измерения, Dt — неопределенность длительности про­цесса измерения. Следовательно, система, имеющая среднее время жизни Dt, не мо­жет быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии DE=h/Dt возрастает с уменьшением средне­го времени жизни. Из выражения (215.5) следует, что частота излученного фотона также должна иметь неопределенность Dn=DE/h, т.е. линии спектра долж­ны характеризоваться частотой, равной n±DE/h. Опыт действительно показывает, что все спектральные линии размыты; из­меряя ширину спектральной линии, можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.

Соотношение неопределенностей неод­нократно являлось предметом философ­ских дискуссий, приводивших некоторых философов к его идеалистическому истол­кованию. Например, по их мнению,соотно-

 

 

346

шение неопределенностей, не давая воз­можности одновременно точно определить координаты и импульсы (скорости) частиц, устанавливает границу познавае­мости мира, с одной стороны, и существо­вание микрообъектов вне пространства и времени — с другой. На самом деле соотношение неопределенностей не ставит какого-либо предела познанию микроми­ра, а только указывает, насколько при­менимы к нему понятия классической ме­ханики.