§219. Движение свободной частицы

При движении свободной частицы (U(x)=0) ее полная энергия совпадает с кине­тической. Для свободной частицы, движу­щейся вдоль оси х, уравнение Шрединге­ра (217.5) для стационарных состояний примет вид

Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения (219.1) является функция y(х)=Ае^ikx, где А=const и k=const, с собственным зна­чением энергии

E=h²k²/(2m). (219.2)

Функция y(x)=Ae^ikx=Aе^(i/h)Ö2mEx представляет собой только координатную часть волновой функции y(х, t). Поэтому зависящая от времени волновая функция, согласно (217.4),

(здесь w=Е/h и k=p_x/h). Функция (219.3) представляет собой плоскую мо­нохроматическую волну де Бройля (см. 217.2)).

Из выражения (219.2) следует, что зависимость энергии от импульса

E=h²k²/(2m)=p²_x/(2m)

оказывается обычной для нерелятивист­ских частиц. Следовательно, энергия сво­бодной частицы может принимать любые значения (так как волновое число k может принимать любые положительные значе­ния), т. е. ее энергетический спектр явля­ется непрерывным.

Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской монохрома­тической волной де Бройля. Этому соот­ветствует не зависящая от времени плот­ность вероятности обнаружения частицы

 

351

в данной точке пространства |y|² =yy**=|A|²,

 

причем одинаковая в любой его точке.