§ 222. Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике

Линейный   гармонический   осциллятор —

система, совершающая одномерное дви­жение под действием квазиупругой си­лы, — является моделью, используемой во многих задачах классической и квантовой теории (см. §142). Пружинный, физиче­ский и математический маятники — при­меры классических гармонических осцил­ляторов.

Потенциальная энергия гармоническо­го осциллятора (см.  (141.5)) равна

U=mw²₀х²/2, (222.1)

где w₀ — собственная частота колебаний осциллятора, m — масса частицы. Зависи­мость (222.1) имеет вид параболы (рис.300), т.е. «потенциальная яма» в данном случае является параболической. Амплитуда малых колебаний класси­ческого осциллятора определяется его полной энергией Е (см. рис. 16). В точ­ках с координатами ±x_max полная энер­гия Е равна потенциальной энергии. По­этому с классической точки зрения части­ца не может выйти за пределы области (-х_max, +x_max). Такой выход означал бы, что ее потенциальная энергия больше пол­ной, что абсурдно, так как приводит к вы­воду, что кинетическая энергия отрица­тельна. Таким образом, классический ос­циллятор находится в «потенциальной

яме»     с координатами -x_max£x£x_max

«без права выхода» из нее.

 

 

356

Гармонический  осциллятор  в  кванто­вой механике — квантовый осциллятор —

описывается уравнением Шредингера (217.5), учитывающим выражение (222.1) для потенциальной энергии. Тог­да стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера вида

где Е — полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение (222.2) ре­шается только при собственных значениях энергии

E_n=(n+¹/₂)hw₀. (222.3)

Формула (222.3) показывает, что энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т. е. квантует­ся. Энергия ограничена снизу отличным от нуля, как и для прямоугольной «ямы» с бесконечно высокими «стенками» (см. §220), минимальным значением энер­гии E₀=¹/₂hw₀. Существование минималь­ной энергии — она называется энергией нулевых колебаний — является типичной для квантовых систем и представляет со­бой прямое следствие соотношения неоп­ределенностей.

Наличие нулевых колебаний означает, что частица не может находиться на дне «потенциальной ямы», причем этот вывод не зависит от ее формы. В самом деле, «падение на дно ямы» связано с обраще­нием в нуль импульса частицы, а вместе с тем и его неопределенности. Тогда не­определенность координаты становится сколь угодно большой, что противоречит, в свою очередь, пребыванию частицы в «потенциальной яме».

Вывод о наличии энергии нулевых ко­лебаний квантового осциллятора противо­речит выводам классической теории, со­гласно которой наименьшая энергия, кото­рую может иметь осциллятор, равна нулю (соответствует покоящейся в положении равновесия частице). Например, классиче­ская физика приводит к выводу, что при

T=0 энергия колебательного движения атомов кристалла должна обращаться в нуль. Следовательно, должно исчезать и рассеяние света, обусловленное колеба­ниями атомов. Однако эксперимент пока­зывает, что интенсивность рассеяния света при понижении температуры не равна ну­лю, а стремится к некоторому предельному значению, указывающему на то, что при Т ->0 колебания атомов в кристалле не прекращаются. Это является подтвержде­нием нулевых колебаний.

Из формулы (222.3) также следует, что уровни энергии линейного гармонического осциллятора расположены на одинаковых расстояниях друг от друга (рис.300), а именно расстояние между соседними энергетическими уровнями равно hw₀, причем минимальное значение энергии

E₀=¹/₂hw₀.

Строгое решение задачи о квантовом осцилляторе приводит еще к одному зна­чительному отличию от классического рас­смотрения. Квантово-механический расчет показывает, что частицу можно обнару­жить за пределами дозволенной области |х|£x_max (см. рис. 16) в то время как с классической точки зрения она не может выйти за пределы области (-х_max, +x:_max). Таким образом, имеется отличная от нуля вероятность обнаружить частицу в той области, которая является классически запрещенной. Этот результат (без его вы­вода) демонстрируется на рис. 301, где приводится квантовая плотность вероят­ности w обнаружения осциллятора для состояния п=1. Из рисунка следует, что для квантового осциллятора действитель-

 

 

 

357

но плотность вероятности w имеет конеч­ные значения за пределами классически дозволенной области |х|£x_max, т. е. имеет­ся конечная (но небольшая) вероятность обнаружить частицу в области за предела-

ми «потенциальной ямы». Существование отличных от нуля значений w за предела­ми «потенциальной ямы» объясняется воз­можностью прохождения микрочастиц сквозь потенциальный барьер (см. §221).