§224. 1s-Состояние электрона в атоме водорода

1s-Состояние электрона в атоме водорода является сферически-симметричным, т. е. не зависит от углов q и j. Волновая функция y электрона в этом состоянии определяется только расстоянием r элек­трона от ядра, т. е. y=y_l00(r), где цифры 100 соответственно указывают, что n=1, l=0 и m_l=0. Уравнению Шредингера для 1s-состояния электрона в атоме водорода удовлетворяет функция вида

y=Сe^-r/a, (224.1)

где, как можно показать, a=h²4pe₀/(mе²) — величина, совпадающая с первым боровским радиусом а (см. (212.2)) для атома водорода, С — некоторая постоян­ная, определяемая из условия нормировки вероятностей (216.3).

Благодаря сферической симметрии y-функции вероятность обнаружения электрона на расстоянии r одинакова по всем направлениям. Поэтому элемент объема dV, отвечающий одинаковой плот­ности вероятности, обычно представляют в виде объема сферического слоя радиу­сом r и толщиной dr: dV=4pr²dr. Тогда, согласно условию нормировки вероятно­стей (216.3) с учетом (224.1),

После интегрирования получим

С=1/Ö(pa³). (224.2)

Подставив выражение (224.2) в формулу (224.1), определим нормированную волно­вую функцию, отвечающую 1s-состоянию электрона в атоме водорода:

Вероятность        обнаружить        электрон в элементе объема (см.  (216.2)) равна

Подставив в эту формулу волновую функ­цию (224.3), получим

Вычислим те расстояния r_max от ядра, на которых электрон может быть обнару­жен с наибольшей вероятностью. Иссле­дуя выражения dW/dr на максимум, полу­чим, что r_max=a. Следовательно, электрон может быть обнаружен с наибольшей ве­роятностью на расстояниях, равных боровскому радиусу, т. е. имеется равная и наибольшая вероятность обнаружения электрона во всех точках, расположенных на сферах радиуса а с центром в ядре атома. Казалось бы, квантово-механический расчет дает полное согласие с тео­рией Бора. Однако, согласно квантовой механике, плотность вероятности лишь при r=a достигает максимума, оставаясь отличной от нуля во всем пространстве

 

 

362

(рис.305). Таким образом, в основном состоянии атома водорода наиболее веро­ятным расстоянием от электрона до ядра является расстояние, равное боровскому радиусу. В этом заключается квантово-механический смысл боровского радиуса.