§ 238.  Выводы квантовой теории электропроводности металлов

Квантовая теория электропроводности ме­таллов — теория электропроводности, ос­новывающаяся на квантовой механике и квантовой статистике Ферми — Дира­ка,— пересмотрела вопрос об электропро­водности металлов. Расчет электропровод­ности металлов, выполненный на основе этой теории, приводит к выражению для удельной электрической проводимости металла

которое по внешнему виду напоминает классическую формулу (103.2) для g, но имеет совершенно другое физи­ческое содержание. Здесь n — концентра­ция электронов проводимости в металле, <l_f> — средняя длина свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми, <u_F> —средняя скорость теплового дви­жения такого электрона. Выводы, получа­емые на основе формулы (238.1), полно­стью соответствуют опытным данным. Квантовая теория электропроводности ме­таллов, в частности, объясняет зависи­мость удельной проводимости от темпера­туры: g~ 1/T (классическая теория (см. § 103) дает, что g~1/ÖT), а также аномально большие величины (порядка сотен периодов решетки) средней длины свободного пробега электронов в металле (см. § 103).

Квантовая теория рассматривает дви­жение электронов с учетом их взаимодействия с кристаллической решеткой. Со­гласно корпускулярно-волновому дуализ­му, движению электрона сопоставляют волновой процесс. Идеальная кристалли­ческая решетка (в ее узлах находятся неподвижные частицы и в ней отсутствуют нарушения периодичности) ведет себя по­добно оптически однородной среде — она «электронные волны» не рассеивает. Это соответствует тому, что металл не оказы­вает электрическому току — упорядочен­ному движению электронов — никакого сопротивления. «Электронные волны», распространяясь в идеальной кристалли­ческой решетке, как бы огибают узлы решетки и проходят значительные рас­стояния.

В реальной кристаллической решетке всегда имеются неоднородности, которыми могут быть, например, примеси, вакансии; неоднородности обусловливаются также тепловыми колебаниями. В реальной кристаллической решетке происходит рас­сеяние «электронных волн» на неоднородностях, что и является причиной электри­ческого сопротивления металлов. Рассея­ние «электронных волн» на неоднородностях, связанных с тепловыми колебаниями, можно рассматривать как столкновения электронов с фононами.

Согласно классической теории, <u>~ÖТ, поэтому она не смогла объяснить истинную зависимость у от температуры (см. § 103). В квантовой теории средняя скорость <u_F> от температуры практиче­ски не зависит, так как доказывается, что с изменением температуры уровень Ферми остается практически неизменным. Однако с повышением температуры рассеяние «электронных волн» на тепловых колеба­ниях решетки (на фононах) возрастает, что соответствует уменьшению средней длины свободного пробега электронов. В области комнатных температур <l_F>~Т^-1 поэтому, учитывая независимость <u> от температуры, получим, что сопро­тивление металлов (R~1/g) в соответст­вии с данными опытов растет пропорцио­нально Т. Таким образом, квантовая тео­рия элекропроводности металлов устрани­ла и эту трудность классической теории.