§ 43. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

Для вывода основного уравнения молеку­лярно-кинетической теории рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предполо­жим, что молекулы газа движутся хаоти­чески, число взаимных столкновений меж­ду молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку DS (рис. 64) и вычислим давле­ние, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молекула, движущая­ся перпендикулярно площадке, передает ей импульс m₀v-(-m₀v)=2m₀v, где т₀ — масса молекулы, v — ее скорость. За время Dt площадки DS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием DS и высотой vDt (рис.64). Число этих молекул равно nDSvDt (n—концентрация молекул).

Необходимо,   однако,   учитывать,   что реально молекулы движутся к площадке

 

 

77

DS под разными углами и имеют различ­ные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движе­ние молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направ­лений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется ¹/₃ моле­кул, причем половина молекул (¹/₆) дви­жется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку DS будет ¹/₆nDSvDt. При столкновении с пло­щадкой эти молекулы передадут ей им­пульс

DР = 2m₀v•¹/₆nDSvDt=¹/₃nm₀v²DSDt.

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,

p=DP/(DtDS)=¹/₃nm₀v².      (43.1)

Если газ в объеме V содержит N молекул,

движущихся со скоростями v₁, v₂, ..., v_N, то

целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость

характеризующую всю совокупность моле­кул газа.

Уравнение (43.1) с учетом (43.2) при­мет вид

р = ¹/₃пт₀ <v_кв>². (43.3)

Выражение (43.3) называется основ­ным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Точный рас­чет с учетом движения молекул по все-

возможным   направлениям   дает   ту   же формулу.

Учитывая, что n = N/V, получим

где Е — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

Так как масса газа m =Nm₀, то урав­нение (43.4)  можно переписать в виде

pV=¹/₃m<v_кв>².

Для одного моля газа т = М (М — моляр­ная масса), поэтому

pV_m=¹/₃M<v_кв>²,

где V_m — молярный объем. С другой сто­роны, по уравнению Клапейрона — Мен­делеева, pV_m=RT. Таким образом,

RT=¹/₃М <v_кв>², откуда

Так как М = m₀N_A, где m₀—масса од­ной молекулы, а N_А — постоянная Авогад­ро, то из уравнения (43.6) следует, что

где k = R/N_A—постоянная Больцмана. Отсюда найдем, что при комнатной темпе­ратуре молекулы кислорода имеют сред­нюю квадратичную скорость 480 м/с, во­дорода — 1900 м/с. При температуре жид­кого гелия те же скорости будут соответ­ственно 40 и 160 м/с.

Средняя кинетическая энергия посту­пательного движения одной молекулы иде­ального газа

<e₀) =E/N = m₀ <v_кв>)²/2 = ³/₂kT(43.8)

(использовали формулы (43.5) и (43.7)) пропорциональна термодинамической тем­пературе и зависит только от нее. Из этого уравнения следует, что при T=0 <e₀> =0,

 

 

78

т. е. при 0 К прекращается поступательное движение молекул газа, а следовательно, его давление равно нулю. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии по­ступательного движения молекул идеаль­ного газа и формула (43.8) раскрывает молекулярно-кинетическое толкование температуры.