§ 55. Адиабатический процесс. Политропный процесс

Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен (dQ=0) между системой и окружающей средой. К адиабатическим процессам можно от-

нести все быстропротекающие процессы. Например, адиабатическим процессом можно считать процесс распространения звука в среде, так как скорость распро­странения звуковой волны настолько вели­ка, что обмен энергией между волной и средой произойти не успевает. Адиаба­тические процессы применяются в двига­телях внутреннего сгорания (расширение и сжатие горючей смеси в цилиндрах), в холодильных установках и т. д.

Из первого начала термодинамики (dQ=dU+dA) для адиабатического про­цесса следует, что

dA=-dU, (55.1)

т. е. внешняя работа совершается за счет изменения внутренней энергии системы.

Используя выражения (52.1) и (53.4), для произвольной массы газа перепишем уравнение (55.1) в виде

Продифференцировав   уравнение   состоя­ния для идеального газа pV=(m/M)RT, получим

Исключим из   (55.2)   и   (55.3)  температу­ру Т:

Разделив переменные и учитывая, что С_р/С_v =g (см. (53.8)), найдем

dp/p=-gdV/V.

Интегрируя это уравнение в пределах от р₁ до р₂ и соответственно от V₁ до V₂, а затем потенцируя, придем к выражению

p₂/p_l=(V₁/V₂)^g.

или

p₁v^g₁ = p₂v^g₂.

Так как состояния 1 и 2 выбраны про­извольно, то можно записать

рV^g=const. (55.4)

 

 

95

Полученное выражение есть уравнение адиабатического процесса, называемое также уравнением Пуассона.

Для перехода к переменным Т, V или р, Т исключим из (55.4) с помощью урав­нения Клапейрона — Менделеева

соответственно давление или объем:

Выражения (55.4) — (55.6) представ­ляют собой уравнения адиабатического процесса. В этих уравнениях безразмер­ная величина (см. (53.8) и (53.2))

называется показателем адиабаты (или коэффициентом Пуассона). Для одно­атомных газов (Ne, He и др.), достаточно хорошо удовлетворяющих условию иде­альности, i = 3, g=1,67. Для двухатомных газов (Н₂, N₂, O₂ и др.) i= 5, g=1,4. Зна­чения g, вычисленные по формуле (55.7), хорошо подтверждаются экспериментом.

Диаграмма адиабатического процесса (адиабата) в координатах р, V изобража­ется гиперболой (рис.83). На рисунке видно, что адиабата (pV^g=const) более крута, чем изотерма (pV=const). Это объясняется тем, что при адиабатическом сжатии 1—3 увеличение давления газа обусловлено не только уменьшением его объема, как при изотермическом сжатии, но и повышением температуры.

Вычислим работу, совершаемую газом в адиабатическом процессе. Запишем уравнение (55.2) в виде

Если газ адиабатически расширяется от объема V₁ до V₂, то его температура уменьшается от T₁ до T₂ и работа расши­рения идеального газа

Применяя те же приемы, что и при выводе формулы (55.5), выражение (55.8) для работы при адиабатическом расшире­нии можно преобразовать к виду

Работа, совершаемая газом при адиа­батическом расширении 1—2 (определяется площадью, выполненной в цвете на рис. 83), меньше, чем при изотермическом. Это объясняется тем, что при адиабатическом расширении происходит охлаждение газа, тогда как при изотермическом — темпера­тура поддерживается постоянной за счет притока извне эквивалентного количества теплоты.

Рассмотренные изохорный, изобарный, изотермический и адиабатический процес­сы имеют общую особенность — они про­исходят при постоянной теплоемкости. В первых двух процессах теплоемкости соответственно равны C_v и С_р, в изотерми­ческом процессе (dT=0) теплоемкость равна ±¥, в адиабатическом (dQ=0) теплоемкость равна нулю. Процесс, в ко­тором теплоемкость остается постоянной, называется политропным.

Исходя из первого начала термодина­мики при условии постоянства теплоемко­сти (C = const) можно вывести уравнение политропы:

pVⁿ = const, (55.9)

 

 

96

где n=(C-С_р)/(С-C_v) — показатель политропы. Очевидно, что при С = 0, n=g из (55.9) получается уравнение адиабаты; при С=¥, n =1 —уравнение изотермы; при С=С_Р, n = 0 — уравнение изобары, при С = С_v, n=±¥ —уравнение изохоры. Таким образом, все рассмотренные процессы являются частными случаями политропного процесса.