§ 68. Давление под искривленной поверхностью жидкости

Если поверхность жидкости не плоская, а искривленная, то она оказывает на жид­кость избыточное (добавочное) давление. Это давление, обусловленное силами по­верхностного натяжения, для выпуклой поверхности положительно, а для вогнутой поверхности — отрицательно.

Для расчета избыточного давления предположим, что свободная поверхность жидкости имеет форму сферы радиуса R, от которой мысленно отсечен шаровой сег­мент, опирающийся на окружность радиу­са r=Rsina (рис. 100). На каждый бес­конечно малый элемент длины Dl этого контура действует сила поверхностного натяжения DF=sDl, касательная к по­верхности сферы. Разложив DF на два компонента (DF₁ и DF₂), видим, что гео­метрическая сумма сил DF₂ равна нулю, так как эти силы на противоположных сторонах контура направлены в обратные стороны и взаимно уравновешиваются. Поэтому равнодействующая сил поверхно­стного натяжения, действующих на вы­резанный сегмент, направлена перпенди­кулярно плоскости сечения внутрь жидко-

 

 

115

сти   и   равна   алгебраической   сумме   со­ставляющих DF₁:

Разделив эту силу на площадь основания сегмента pr², вычислим избыточное (до­бавочное) давление на жидкость, создава­емое силами поверхностного натяжения и обусловленное кривизной поверхности:

Если поверхность жидкости вогнутая, то можно доказать, что результирующая сила поверхностного натяжения направле­на из жидкости и равна

Следовательно, давление внутри жидкости под вогнутой поверхностью меньше, чем в газе, на величину Dр.

Формулы (68.1) и (68.2) являются частным случаем формулы Лапласа, оп­ределяющей избыточное давление для произвольной поверхности жидкости двоя­кой кривизны:

где R₁ и R₂ — радиусы кривизны двух любых взаимно перпендикулярных нор­мальных сечений поверхности жидкости в данной точке. Радиус кривизны положи­телен, если центр кривизны соответствую­щего сечения находится внутри жидкости, и отрицателен, если центр кривизны на­ходится вне жидкости.

Для сферической искривленной повер­хности (R₁=R₂=R) выражение (68.3) пе­реходит в (68.1), для цилиндрической (R₁=R и R₂=¥) — избыточное давление

Dр=s(1/R+1/¥)=s/R.

Для плоской поверхности (R₁=R₂=¥) силы поверхностного натяжения избыточ­ного давления не создают.