§ 82.  Применение теоремы Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Бесконечная плоскость (рис. 126) заряжена с постоянной поверхностной плотно­стью + s (s=dQ/dS—заряд, приходящийся на единицу поверхности). Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим ци­линдр, основания которого параллельны заря­женной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (cosa=0), то поток вектора напряженности сквозь боковую повер­хность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания E_n совпадает с Е), т.е. равен 2ES. Заряд, заключенный внутри построенной цилин­дрической поверхности, равен sS. Согласно теореме Гаусса (81.2), 2ES = sS/e₀, откуда

E=s/(2ee₀). (82.1)

Из формулы (82.1) вытекает, что Е не зависит от длины цилиндра, т. е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, ины-

 

 

135

ми словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно.

2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей (рис. 127). Пусть плоскости заряжены равномерно разнои­менными зарядами с поверхностными плотно­стями +s и -s. Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке верх­ние стрелки соответствуют полю от положитель­но заряженной плоскости, нижние — от отрица­тельной плоскости. Слева и справа от плоско­стей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля E=0. В области между плоскостями E=E₊+E_- (E₊ и E_-определяются по формуле (82.1)), поэтому ре­зультирующая напряженность

E=s/e₀. (82.2)

Таким образом, результирующая напряжен­ность поля в области между плоскостями описы­вается формулой (82.2), а вне объема, ограни­ченного плоскостями, равна нулю.

3. Поле равномерно заряженной сфериче­ской поверхности. Сферическая поверхность ра­диуса R с общим зарядом Q заряжена равно­мерно с поверхностной плотностью +0. Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией.

Поэтому линии напря­женности направлены радиально (рис. 128). Построим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r>R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса (81.2), 4pr²E=Q/e₀, откуда

При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. Гра­фик зависимости E от r приведен на рис. 129. Если r'<R, то замкнутая поверхность не со­держит внутри зарядов, поэтому внутри равно­мерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (E=0).

4. Поле объемно заряженного шара. Шар

радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью r (r=dQ/dV— заряд, приходящийся на единицу объема). Учиты­вая соображения симметрии (см.п.3), можно показать, что для напряженности поля вне ша­ра получится тот же результат, что и в предыду­щем случае (см. (82.3)). Внутри же шара на­пряженность поля будет другая. Сфера радиуса r'<R охватывает заряд Q'=⁴/₃pr'³r. Поэтому, согласно теореме Гаусса (81.2), 4pr'²E=Q'/e₀=⁴/₃pr³r/e₀. Учитывая, что r=Q/(⁴/₃pR³), получим

Таким образом, напряженность ноля вне равно­мерно заряженного шара описывается форму­лой (82.3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием r' согласно выражению (82.4). График зависимости E от r приведен на рис. 130.

5.  Поле равномерно заряженного бесконеч­ного  цилиндра   (нити).  Бесконечный   цилиндр

 

 

136

радиуса R (рис. 131) заряжен равномерно с линейной плотностью t (t=dQ/dt — заряд, приходящийся на единицу длины). Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сече­ний цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим ко­аксиальный с заряженным цилиндр радиуса r и высотой l. Поток вектора Е сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность -2prlЕ. По теореме Гаусса (81.2), при r>R 2prlE = tl/e₀, от­куда

Если r<R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области E=0. Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного бесконечного цилинд­ра определяется выражением (82.5), внутри же его поле отсутствует.