§ 86. Вычисление разности потенциалов по напряженности поля

Установленная в § 85 связь между напря­женностью поля и потенциалом позволяет по известной напряженности поля найти разность потенциалов между двумя про­извольными точками этого поля.

1. Поле равномерно заряженной бесконеч­ной плоскости определяется формулой (82.1): E=s/(2e₀), где s — поверхностная плотность заряда. Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях х₁, и x₂ от плоскости

 

 

140

(используем формулу (85.1)), равна

2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей определя­ется формулой (82.2): Е=s/e₀, где s — повер­хностная плотность заряда. Разность потенциа­лов между плоскостями, расстояние между ко­торыми равно d  (см. формулу (85.1)), равна

3. Поле равномерно заряженной сфериче­ской поверхности радиуса R с общим зарядом Q вне сферы (r>R) вычисляется по (82.3):

E=(1/4pe₀)Q/r². Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ и r₂ от центра сферы (r₁>R, r₂>R), равна

Если принять r₁=r и r₂=¥, то потенциал поля вне сферической поверхности, согласно формуле (86.2), задается выражением

(ср.  с формулой   (84.5)).  Внутри сферической поверхности потенциал всюду одинаков и равен

График    зависимости    j    от    r    приведен    на рис. 134.

4. Поле объемно заряженного шара ра­диуса R с общим зарядом Q вне шара (r>R) вычисляется по формуле (82.3), поэтому раз­ность потенциалов между двумя точками, лежа­щими на расстояниях r₁ и r₂ от центра шара (r₁>R, r₂>R), определяется формулой (86.2). В любой точке, лежащей внутри шара на рас­стоянии r' от его центра (r'<R), напряжен­ность определяется выражением (82.4): E=(1/4pe₀)(Q/R³)r'.  Следовательно,    разность    потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r'₁ и r'₂ от центра шара (r'₁<R, r'₂<R), равна

5. Поле равномерно заряженного бесконеч­ного цилиндра радиуса К, заряженного с линей­ной плотностью т, вне цилиндра (r>R) опреде­ляется формулой (82.5): E=(1/2pe₀)(t/r). Следовательно, разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ и r₂ от оси заряженного цилиндра (r₁>R, r₂>R), равна