§ 90. Условия на
границе раздела двух диэлектрических сред
Рассмотрим связь между векторами Е и D на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков (диэлектрические
проницаемости которых e1 и e2) при
отсутствии на границе свободных зарядов. Построим вблизи границы раздела диэлектриков
1 и 2 небольшой замкнутый
прямоугольный контур ABCDA длины l, ориентировав его так, как показано на рис.
136. Согласно теореме (83.3) о циркуляции вектора Е,
откуда
(знаки интегралов по АВ
и CD разные, так как пути интегрирования
противоположны, а интегралы по участкам ВС
и DA ничтожно малы).
Поэтому
Заменив, согласно (89.1), проекции вектора Е проекциями вектора D, деленными на e0e, получим
На границе раздела двух диэлектриков (рис. 137) построим
прямой цилиндр ничтожной высоты, одно основание которого находится в первом
диэлектрике, другое — во втором. Основания AS настолько малы, что в пределах каждого из них вектор D одинаков. Согласно теореме Гаусса (89.3),
(нормали n и n' к основаниям
цилиндра направлены противоположно). Поэтому
D1n=D2n. (90.3)
Заменив, согласно (89.1), проекции вектора D проекциями вектора Е, умноженными на e0e, получим
Таким образом, при переходе через границу раздела двух
диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора Е (Et) и нормальная составляющая вектора D (Dn) изменяются
непрерывно (не претерпевают скачка), а нормальная составляющая вектора Е (En) и тангенциальная составляющая вектора D (Dt) претерпевают скачок.
Из условий (90.1) — (90.4) для составляющих векторов Е и D следует, что линии этих векторов
испытывают излом (преломляются). Найдем связь между уг-
145
лами a1 и a2 (на рис. 138 e2>e1). Согласно
(90.1) и (90.4), E2t=E1t и e2Е2n=e1E1n. Разложим векторы e1и Е2
у границы раздела, на тангенциальные и нормальные составляющие. Из рис. 138
следует, что
Учитывая записанные выше условия, получим закон
преломления линий напряженности Е (а значит, и линий смещения D)
Эта формула показывает, что, входя в диэлектрик с
большей диэлектрической проницаемостью, линии Е и D удаляются от нормали.
