§ 95. Энергия системы зарядов, уединенного проводника и конденсатора. Энергия электростатического поля

1. Энергия системы неподвижных точеч­ных зарядов. Электростатические силы взаимодействия консервативны (см. § 83); следовательно, система зарядов обладает

потенциальной энергией. Найдем потенци­альную энергию системы двух неподвиж­ных точечных зарядов Q₁ и Q₂, находя­щихся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией (см. (84.2) и (84.5)):

W₁=Q_lj₁,       W₂=Q₂j₂₁,

где j₁₂ и j₂₁ — соответственно потенциа­лы, создаваемые зарядом Q₂. в точке на­хождения заряда q₁ и зарядом Q₁ в точке нахождения заряда Q₂. Согласно (84.5),

поэтому

W₁=W₂=W и

W=Q₁j₁₂=Q₂j₂₁=¹/₂(Q₁j₁₂+Q₂j₂₁).

Добавляя к системе из двух зарядов по­следовательно заряды Q₃, Q₄, ..., можно убедиться в том, что в случае n непод­вижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна

где j_i — потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Q_i, всеми за­рядами, кроме i-го.

2. Энергия заряженного уединенного проводника. Пусть имеется уединенный проводник, заряд, емкость и потенциал которого соответственно равны Q, С, j. Увеличим заряд этого проводника на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконечности на уединенный провод­ник, затратив на это работу, равную

dA=jdQ=Cjdj.

Чтобы зарядить тело от нулевого потенци­ала до j, необходимо совершить работу

.   Энергия заряженного проводника рав­на  той  работе,  которую  необходимо  со-

 

 

152

вершить, чтобы зарядить этот проводник: W=Cj²/2=Qj/2=Q²/(2C).   (95.3)

Формулу (95.3) можно получить и из того, что потенциал проводника во всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотенциальной. Полагая потенциал проводника равным j, из (95.1) найдем

3. Энергия заряженного конденсато­ра. Как всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией, которая в соответствии с формулой (95.3) равна

W = C (Dj)²/2=QDj/2=Q²/(2C), (95.4)

где Q — заряд конденсатора, С — его ем­кость, Dj — разность потенциалов между обкладками.

Используя выражение (95.4), можно найти механическую (пондеромоторную) силу, с которой пластины конден­сатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояние х меж­ду пластинами меняется, например, на величину Ах. Тогда действующая сила со­вершает работу

dA=Fdx

вследствие уменьшения потенциальной энергии системы

Fdx=-dW,

откуда

F=dW/dx. (95.5)

Подставив в (95.4) выражение (94.3), по­лучим

Производя дифференцирование при кон­кретном значении энергии (см. (95.5) и (95.6)), найдем искомую силу:

где знак минус указывает, что сила F является силой притяжения.

4. Энергия электростатического поля.

Преобразуем формулу (95.4), выражаю­щую энергию плоского конденсатора по­средством зарядов и потенциалов, вос­пользовавшись выражением для емкости плоского конденсатора (C = e₀e/d) и раз­ности потенциалов между его обкладками (Dj =Ed). Тогда получим

где V=Sd — объем конденсатора. Форму­ла (95.7) показывает, что энергия кон­денсатора выражается через величину, ха­рактеризующую электростатическое по­ле,— напряженность Е.

Объемная плотность энергии электро­статического поля (энергия единицы объема)

w=W/V=e₀eE²/2 = ED/2.    (95.8)

Выражение (95.8) справедливо только для изотропного диэлектрика, для которого

выполняется соотношение (88.2): Р=ce₀Е.

Формулы (95.4) и (95.7) соответствен­но связывают энергию конденсатора с за­рядом на его обкладках и с напряженно­стью поля. Возникает, естественно, вопрос о локализации электростатической энер­гии и что является ее носителем — заряды или поле? Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Электростатика изучает постоянные во времени поля неподвижных зарядов, т. е. в ней поля и обусловившие их заряды неотделимы друг от друга. По­этому электростатика ответить на постав­ленные вопросы не может. Дальнейшее развитие теории и эксперимента показало, что переменные во времени электрические и магнитные поля могут существовать обо­собленно, независимо от возбудивших их зарядов, и распространяются в простран­стве в виде электромагнитных волн, спо­собных переносить энергию. Это убеди­тельно подтверждает основное положение теории близкодействия о локализации энергии в поле и что носителем энергии является поле.