§ 142. Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описы­ваемые уравнением вида (140.6):

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодиче­ского движения и служат точной или при­ближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. При­мерами гармонического осциллятора яв­ляются пружинный, физический и матема­тический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений столь малых, что элементы контура можно было бы считать линейными; см. §146).

1. Пружинный маятник — это груз мас­сой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F=-kx, где k — коэффициент упругости, в случае пружины называемый жесткостью. Уравнение движения маятника

Из выражений (142.1) и (140.1) следует, что пружинный маятник совершает гармо­нические колебания по закону  х=Acos(w₀t+j) с циклической частотой

w₀=Ök/m (142.2) и периодом

T=2pÖm/k. (142.3)

Формула (142.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выпол­няется закон Гука (см. (21.3)), т. е. когда масса пружины мала по сравнению с мас­сой тела.

Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (141.5) и (142.2), равна

П=kх²/2.

2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходя­щей через центр масс тела (рис.201).

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол а, то в со­ответствии с уравнением динамики враща­тельного движения твердого тела (18.3) момент М возвращающей силы можно

 

 

223

записать в виде

где У — момент инерции маятника относи­тельно оси, проходящей через точку О, l — расстояние между точкой подвеса и цент­ром масс маятника, F_t=-mgsina»mga — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления F_t и a всегда противоположны; sina»a соответствует малым колебаниям маятни­ка, т. е. малым отклонениям маятника из положения равновесия).

Уравнение    (142.4)    можно   записать в виде

Принимая

w₀=Ömgl/J. (142.5) получим уравнение

идентичное  с   (142.1),  решение  которого (140.1)  известно:

a=a₀cos(w₀t+j). (142.6)

Из выражения (142.6) следует, что при малых колебаниях физический маят­ник совершает гармонические колебания с циклической частотой w₀ (см (142.5)) и периодом

Т = 2p/w₀=2pÖJ/(mgl)=2pÖL/g.

(142.7)

где L = J/(ml) — приведенная длина физи­ческого маятника.

Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от оси подвеса на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 201). Применяя теорему Штейнера (16.1), по­лучим

т. е. ОО' всегда больше ОС. Точка подвеса О и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если ось подвеса пе­ренести в центр качаний, то точка О пре­жней оси подвеса станет новым центром качаний и период колебаний физического маятника не изменится.

3, Математический маятник— это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешен­ной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тя­жести. Хорошим приближением математи­ческого маятника является небольшой тя­желый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.

Момент инерции математического маятника J=ml², (142.8)

где l — длина маятника.

Так как математический маятник мож­но представить как частный случай физи­ческого маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (142.8) в формулу (142.7), получим вы­ражение для периода малых колебаний математического маятника

T=2pÖl/g. (142.9)

Сравнивая формулы (142.7) и (142.9), видим, что если приведенная длина L фи­зического маятника равна длине l матема­тического маятника, то их периоды коле­баний одинаковы. Следовательно, приве­денная длина физического маятника — это длина такого математического маятни­ка, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физическо­го маятника.