§ 143. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре

Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические ве­личины (заряды, токи) периодически изме­няются и которые сопровождаются взаим-

 

 

224

ными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддерживания электромагнитных колеба­ний используется колебательный контур — цепь, состоящая из включенных последо­вательно катушки индуктивностью L, кон­денсатора емкостью С и резистора сопро­тивлением R.

Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеализиро­ванном контуре, сопротивление которого пренебрежимо мало (R»0). Для возбуж­дения в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±Q. Тогда в началь­ный момент времени t=0 (рис. 202, а) между обкладками конденсатора возник­нет электрическое поле, энергия которого

(¹/₂C)Q²(см. (95.4)). Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, он на­чнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток I. В ре­зультате энергия электрического поля бу­дет уменьшаться, а энергия магнитного

поля катушки (она равна ¹/₂LQ² ) —воз­растать.

Так как R»0, то, согласно закону сохранения энергии, полная энергия

так как она на нагревание не расходуется. Поэтому в момент t=¹/₄ Т, когда конден­сатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля (а следователь­но, и ток) достигает наибольшего значения

(рис. 202, б). Начиная с этого момента ток в контуре будет убывать; следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катуш­ки, и в ней индуцируется ток, который течет (согласно правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конден­сатора. Конденсатор начнет перезаря­жаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который в кон­це концов обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет макси­мума (рис. 202, в). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении (рис. 202, г) и система к моменту времени t=T придет в первоначальное состояние (рис. 202, а). После этого начнется повто­рение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора. Если бы потерь энергии не было, то в контуре совершались бы периодические незатухающие колеба­ния, т. е. периодически изменялись (коле­бались) бы заряд Q на обкладках конденсатора, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности. Следовательно, в контуре возникают электрические колебания, при чем колебания сопровождаются превращениями энергий электрического и магнитного полей.

Электрические колебания в колебательном контуре можно сопоставить с механическими колебаниями маятника (рис.202 внизу), сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника. В данном случае энергия электрического поля конденсатора (Q²/(2C)) аналогична потенциальной энергии упругой деформа-

 

 

 

225

ции (kx²/2), энергия магнитного поля ка­тушки (LQ²/2) — кинетической энергии (mx²/2), сила тока в контуре — скорости движения маятника. Индуктивность L играет роль массы т, а сопротивление контура — роль силы трения, действующей на маятник.

Согласно закону Ома, для контура, содержащего катушку индуктивностью L, конденсатор емкостью С и резистор сопро­тивлением R,

ir+u_c=ξ_s,

где IR — напряжение на резисторе, U_C=Q/C— напряжение на конденсаторе, ξ_s=-LdI/dt — э.д.с. самоиндукции, воз­никающая в катушке при протекании в ней переменного тока (ξ_s, —единственная э.д.с. в контуре).. Следовательно,

Разделив (143.1) на L и подставив I=Q и dI/dt=Q, получим дифференциаль­ное уравнение колебаний заряда Q в кон­туре:

В данном колебательном контуре внешние э.д.с. отсутствуют, поэтому рас­сматриваемые колебания представляют собой свободные колебания (см. §140). Если сопротивление R=0, то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими. Тогда из (143.2) получим дифференциальное урав­нение свободных гармонических колеба­ний заряда в контуре:

Из выражений (142.1) и (140.1) вы­текает, что заряд Q совершает гармониче­ские колебания по закону

Q = Q_mcos(w₀t+j),         (143.3)

где Q_m — амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой w₀, называемой собственной частотой конту­ра, т. е.

w₀=1/ÖLC, (143.4)

и периодом

T=2pÖLC. (143.5)

Формула (143.5) впервые была получена У. Томсоном и называется формулой Томсона.

Сила  тока   в   колебательном   контуре (см. (140.4))

где I_m=w₀Q_m — амплитуда силы ток Напряжение на конденсаторе

где    U_m=Q_m/C—амплитуда    напряже­ния.

Из выражений (143.3) и (143.6) вы­текает, что колебания тока I опережают по фазе колебания заряда Q на p/2, т. е., когда ток достигает максимального значе­ния, заряд (а также и напряжение (см. (143.7)) обращается в нуль, и наобо­рот.