§ 147. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических и электромагнитных) и его решение

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющегося по гармоническому закону:

X(t)=X₀coswt.

Если рассматривать механические ко­лебания, то роль X(t) играет внешняя вы­нуждающая сила

F=F₀coswt. (147.1)

С учетом силы (147.1) закон движения для пружинного маятника (146.9) запи­шется в виде

Используя    (142.2)    и    (146.10),   придем к уравнению

Если рассматривать электрический ко­лебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодиче­ски изменяющаяся по гармоническому за­кону э.д.с. или переменное напряжение

U=U_mcoswt. (147.3)

Тогда уравнение (143.2) с учетом (147.3) можно записать в виде

Используя    (143.4)    и    (146.11),   придем

к уравнению

Колебания, возникающие под действи­ем внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменя­ющейся э.д.с., называются соответствен­но вынужденными механическими и вы­нужденными электромагнитными колеба­ниями.

Уравнения (147.2) и (147.4) можно свести к линейному неоднородному диффе­ренциальному уравнению

применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной фи­зической природы (х₀ в случае механиче­ских колебаний равно F₀/m, в случае элек­тромагнитных — U_m/L).

Решение уравнения (147.5) равно сум­ме общего решения (146.5) однородного уравнения (146.1) и частного решения не­однородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме (см. § 140). Заменим правую часть уравнения (147.5) на комплексную величину х₀е^iwt:

Частное решение этого уравнения будем искать в виде

s=s₀^iht. Подставляя выражение для s и его про­изводных  в уравнение (147.6), получим

Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что h=w. Учитывая это, из уравнения (147.7) найдем величину so и умножим ее числитель и знаменатель на (w²₀-w-2idw):

 

 

 

233

Это комплексное число удобно предста­вить в экспоненциальной форме:

Следовательно,    решение    уравнения (147.6) в комплексной форме примет вид

s=Aе^(iiwt-j)

Его вещественная часть, являющаяся ре­шением уравнения (147.5), равна

s=Acos(wt-j),         (147.10)

где A и j задаются соответственно форму­лами (147.8) и (147.9).

Таким  образом, частное решение не­однородного уравнения (147.5) имеет вид

Решение уравнения (147.5) равно сум­ме общего решения однородного урав­нения

(см. 146.5)) и частного решения (147.11). Слагаемое (147.12) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого ра­венством (147.8). Графически вынужден­ные колебания представлены на рис. 209. Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой (о и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, определяемые выражениями (147.8) и (147.9), так­же зависят от w.

 

Запишем формулы (147.10), (147.8) и (147.9) для электромагнитных колеба­ний, учитывая, что w²₀=1/(LC) (см. (143.4)) и d=R/(2L) (см. (146.11)):

Продифференцировав Q=Q_mcos(wt-a) по t, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

Выражение (147.14) может быть записано в виде

I=I_mcos(wt-j),

где j=a-p/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (147.3)). В соответствии с выражени­ем (147.13)

 

 

234

Из формулы (147.16) вытекает, что ток отстает по фазе от напряжения (j>0), если wL>l/(wC), и опережает напряже­ние (j<0), если wL<l/(wC).

Формулы (147.15) и (147.16) можно также получить с помощью векторной ди­аграммы. Это будет сделано в § 149 для переменных токов.