§ 148. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний (механических и электромагнитных).

Резонанс

Рассмотрим зависимость амплитуды А вы­нужденных колебаний от частоты со. Меха­нические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, на­зывая колеблющуюся величину либо сме­щением (х) колеблющегося тела из поло­жения равновесия, либо зарядом (Q) кон­денсатора.

Из формулы (147.8) следует, что ам­плитуда А смещения (заряда) имеет мак­симум. Чтобы определить резонансную частоту w_рез — частоту, при которой ам­плитуда А смещения (заряда) достигает максимума,— нужно найти максимум фун­кции (147.8), или, что то же самое, мини­мум подкоренного выражения. Продиффе­ренцировав подкоренное выражение по w и приравняв нулю, получим условие, опре­деляющее w_рез:

-4(w²₀-w²)w+8d²w=0. Это равенство выполняется при w=0, ±Ö(w²₀-2d²), у которых только лишь положительное значение имеет физи­ческий смысл. Следовательно, резонанс­ная частота

w_рез=Ö(w²₀ -2d²). (148.1)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближе­нии частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте w_рез называется резонансом (со­ответственно механическим или электриче­ским). При d²<<w² значение w_рез практиче­ски совпадает с собственной частотой w₀ колебательной      системы.

Подставляя (148.1) в формулу (147.8), получим

На рис. 210 приведена зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных значениях б. Из (148.1) и (148.2) вытекает, что чем мень­ше б, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если w®0, то все кривые (см. также (147.8)) приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению x₀/w²₀, так называемому статиче­скому отклонению. В случае механических колебаний x₀/w²₀=F₀/(mw²₀), в случае элек­тромагнитных — U_m/(Lw²₀). Если w®¥, то все кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенная совокупность кривых называется резонансными кривыми.

Из формулы (148.2) вытекает, что при малом затухании (d²<<w²₀) резонансная ам­плитуда смещения (заряда)

где Q — добротность колебательной систе­мы (см. (146.8)), х₀/w²₀ — рассмотренное выше статическое отклонение. Отсюда следует, что добротность Q характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше A_рез. На рис. 211 представлены резонансные кривые для амплитуды скорости (тока). Амплитуда скорости (тока)

 

 

235

максимальна при (w_рез=w₀ и равна x₀/(2d), т. е. чем больше коэффициент затухания 8, тем ниже максимум резонансной кривой. Используя формулы (142.2), (146.10) и (143.4), (146.11), получим, что амплиту­да скорости при механическом резонансе равна (А_v)_max=х_а/(2d)=F₀/r, а амплитуда тока при электрическом резонансе

(А_I)_max=x₀/(2d)=U_m/R.

Из выражения tgj=2dw/(w²₀-w²) (см. (147.9)) следует, что если затухание в системе отсутствует (d=0), то только в этом случае колебания и вынуждающая сила (приложенное переменное напряже­ние) имеют одинаковые фазы; во всех других случаях j¹0.

Зависимость j от w при разных ко­эффициентах б графически представлена на рис. 212, из которого следует, что при

изменении w изменяется и сдвиг фаз j. Из формулы (147.9) вытекает, что при w=0 j=0, а при w=w₀ независимо от значения коэффициента затухания dj=p/2, т. е. сила (напряжение) опережает по фазе колебания на π/2. При дальней­шем увеличении w сдвиг фаз возрастает и при (w>>w0 j®p, т.е. фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы (переменного напряжения). Семейство кривых, изображенных на рис. 212, назы­вается фазовыми резонансными кривыми. Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы со­бственная частота колебаний их не со­впадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возник­нут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора. Так, радиотехника, прикладная акустика, электротехника ис­пользуют явление резонанса.