§ 149. Переменный ток

Рассмотренные установившиеся вынуж­денные электромагнитные колебания мож­но рассматривать как протекание в цепи, содержащей резистор, катушку индуктив­ности и конденсатор, переменного тока. Переменный ток можно считать квазиста­ционарным, т. е. для него мгновенные зна­чения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, так как их изме­нения происходят достаточно медленно, а электромагнитные возмущения распро­страняются по цепи со скоростью, равной скорости света. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа, которые будут использованы применительно к переменным токам (эти законы уже использовались при рассмот­рении электромагнитных колебаний).

Рассмотрим последовательно процес­сы, происходящие в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и кон-

 

236

денсатор, при приложении к ней перемен­ного напряжения

U=U_mcoswt, (149.1)

где U_m — амплитуда напряжения.

1. Переменный ток, текущий через ре­зистор сопротивлением R (L®0, С®0) (рис. 213, а). При выполнении условия квазистационарности ток через резистор определяется законом Ома:

I=U/R=(U_m/R)coswt=I_mcoswt, где амплитуда силы тока l_m=U_m/R.

Для наглядного изображения соотно­шений между переменными токами и на­пряжениями воспользуемся методом век­торных диаграмм. На рис. 213, б дана век­торная диаграмма амплитудных значений тока I_m и напряжения U_m на резисторе (сдвиг фаз между I_m и U_m равен нулю).

2. Переменный ток, текущий через ка­тушку индуктивностью L (R®0, C®0) (рис. 214, а). Если в цепи приложено пере­менное напряжение (149.1), то в ней по­течет переменный ток, в результате чего возникнет э.д.с. самоиндукции

(см.   (126.3))   ξ_s=-LdI/dt.   Тогда закон Ома  (см.   (100.3)) для рассматриваемого

участка цепи имеет вид

U_mcoswt-LdI/dt=0,

откуда

LdI/dt=U_mcoswt.

Так как внешнее напряжение приложено к катушке индуктивности, то

U_L=LdI/dt (149.3)

есть падение напряжения на катушке. Из уравнения (149.2) следует, что

dI=(U_m/L)coswt/dt,

или после интегрирования, учитывая, что постоянная интегрирования равна нулю (так как отсутствует постоянная составля­ющая тока), получим

Величина

R_L=wL (149.5)

называется реактивным индуктивным со­противлением (или индуктивным сопро­тивлением). Из выражения (149.4) выте­кает, что для постоянного тока (w=0) катушка индуктивности не имеет сопротив­ления. Подстановка значения U_m=wLI_m в выражение (149.2) с учетом (149.3) приводит к следующему значению падения напряжения на катушке индуктивности:

U_L=wLI_mcoswt. (149.6)

Сравнение выражений (149.4) и (149.6) приводит к выводу, что падение напряже­ния U_L опережает по фазе ток I, текущий через катушку, на p/2, что и показано на векторной диаграмме (рис. 214, б).

3.  Переменный   ток,   текущий    через конденсатор   емкостью      С  (R®0,   L®0)

 

 

237

(рис. 215, а). Если переменное напряже­ние (149.1) приложено к конденсатору, то он все время перезаряжается, и в цепи потечет переменный ток. Так как все внеш­нее напряжение приложено к конденсато­ру, а сопротивлением подводящих прово­дов можно пренебречь, то

Q/C=U_C=U_mcoswt. Сила тока

Величина

R_C=1/(wС)

называется реактивным емкостным сопро­тивлением (или емкостным сопротивлени­ем). Для постоянного тока (w=0) R_C=¥, т. е. постоянный ток через конденсатор течь не может. Падение напряжения на конденсаторе

U_C=(1/wC)I_mcoswt.         (149.8)

Сравнение выражений (149.7) и (149.8) приводит к выводу, что падение напряже­ния U_C отстает по фазе от текущего через конденсатор тока I на p/2. Это показано на векторной диаграмме (рис. 215, б).

4. Цепь переменного тока, содержа­щая последовательно включенные ре­зистор, катушку индуктивности и конден­сатор. На рис. 216, а представлена цепь, содержащая резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С, на концы которой подается переменное напряжение (149.1). В цепи возникнет переменный ток, который вы­зовет на всех элементах цепи соответству­ющие падения напряжения U_R, U_L и U_C. На рис. 216, б представлена векторная ди­аграмма амплитуд падений напряжений на резисторе (U_R), катушке (U_L) и кон­денсаторе (U_C). Амплитуда U_m приложен­ного напряжения должна быть равна векторной сумме амплитуд этих падений напряжений. Как видно из рис. 216, б, угол j определяет разность фаз между напряжением и силой тока. Из рисунка следует, что (см. также формулу (147.16))

Из прямоугольного треугольника получаем, откуда амплитуда силы тока имеет значение

совпадающее с (147.15).

 

238

Следовательно, если напряжение в це­пи изменяется по закону

U=U_mcoswt,

то в цепи течет ток

I = I_mcos(wt-j),         (149.11)

где j и I_m определяются соответственно формулами (149.9) и (149.10). Величина

называется полным сопротивлением цепи, а величина

— реактивным сопротивлением.

Рассмотрим частный случай, когда в цепи отсутствует конденсатор. В данном случае падения напряжений U_R и U_L в сумме равны приложенному напряже­нию U. Векторная диаграмма для данного случая представлена на рис. 217, из кото­рого следует, что

Выражения (149.9) и (149.10) совпадают с (149.13), если в них 1/(wС) = 0, т. е. С=¥. Следовательно, отсутствие конден­сатора в цепи означает С=¥, а не С=0. Данный вывод можно трактовать сле­дующим образом: сближая обкладки конденсатора до их полного соприкоснове­ния, придем к цепи, в которой конденсатор отсутствует (расстояние между обкладками стремится к нулю, а емкость — к бес­конечности; см. (94.3)).