§ 155.  Принцип суперпозиции. Групповая скорость

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т. е. ее свойства не изменяются под дей­ствием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирую­щее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают части­цы, участвуя в каждом из слагающих во­лновых процессов.

Исходя из принципа суперпозиции и разложения Фурье (см. (144.5)) любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, т. е. в виде волнового пакета, или группы волн. Вол­новым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый мо­мент времени ограниченную область про­странства.

«Сконструируем» простейший волно­вой пакет из двух распространяющихся вдоль положительного направления оси х гармонических волн с одинаковыми ам­плитудами, близкими частотами и волно­выми числами, причем dw<<w и dk<<k. Тогда

Эта  волна  отличается от  гармонической тем, что ее амплитуда

есть медленно изменяющаяся функция ко­ординаты х и времени t.

За скорость распространения этой не­гармонической волны (волнового пакета) принимают скорость перемещения макси­мума амплитуды волны, рассматривая

тем самым максимум в качестве центра волнового пакета. При условии, что tdw-xdk=const, получим

dx/dt=dw/dk=u.         (155.1)

Скорость u есть групповая скорость.  Ее можно определить как скорость движения группы волн, образующих в каждый мо­мент времени локализованный в простран­стве волновой пакет. Хотя выражение (155.1) получено для волнового пакета из двух составляющих, можно доказать, что оно справедливо в самом общем случае. Рассмотрим связь между групповой

u=dw/dk (см.  (155.1))  и фазовой u=w/k

(см. (154.8)) скоростями. Учитывая, что l=2p/k (см. (154.3)), получим

Из формулы  (155.2)  вытекает, что и мо­жет быть как меньше, так и больше v в зависимости от знака dv/dl. В недиспергирующей среде dv/dl=0 и групповая скорость совпадает с фазовой.

Понятие групповой скорости очень важно, так как именно она фигурирует при измерении дальности в радиолокации, в системах управления космическими объектами и т. д. В теории относительно­сти доказывается, что групповая скорость u£с, в то время как для фазовой скоро­сти ограничений не существует.