§ 157. Стоячие волны

Особым случаем интерференции являются стоячие волны — это волны, образующие­ся при наложении двух бегущих волн, рас­пространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами. Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что две плоские волны рас­пространяются навстречу друг другу вдоль оси х в среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми амплитудами и частотами. Кроме того, начало координат выберем в точке, в кото­рой обе волны имеют одинаковую фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда фазы обеих волн равны нулю. Тогда со-

 

 

248

ответственно уравнения волны, распро­страняющейся вдоль положительного на­правления оси х, и волны, распространяю­щейся ей навстречу, будут иметь вид

Сложив эти уравнения и учитывая, что k= 2p/l (см. (154.3)), получим уравнение стоячей волны:

Из уравнения стоячей волны (157.2) вытекает, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты w с амплитудой А_ст=|2Аcos(2pх/l)|, зави­сящей от координаты х рассматриваемой точки.

В точках среды, где

2px/l=±mp   (m=0, 1, 2, ...),     (157.3)

амплитуда колебаний достигает макси­мального значения, равного 2 А. В точках среды, где

2px/l=±(m+1/2)p    (m=0,1,2,...),

(157.4)

амплитуда колебаний обращается в нуль. Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (A_ст=2А), называются пучностями стоячей волны, а точки, в ко­торых амплитуда колебаний равна нулю (A_ст=0), называются узлами стоячей во­лны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.

Из выражений (157.3) и (157.4) полу­чим соответственно координаты пучностей и узлов:

х₀=±тl/2   (m=0, 1,2, ...),   (157.5)

х_узл=±(т+1/2)l/2   (m=0, 1, 2, ...).

(157.6)

Из формул (157.5) и (157.6) следует, что расстояния между двумя соседними пуч­ностями и двумя соседними узлами одина­ковы и равны l/2. Расстояние между соседними пучностью и узлом стоячей волны равно l/4.

В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинако­вой амплитудой, но с запаздыванием по фазе (в уравнении (157.1) бегущей волны фаза колебаний зависит от координаты х рассматриваемой точки), все точки стоя­чей волны между двумя узлами колеблют­ся с разными амплитудами, но с одинако­выми фазами (в уравнении (157.2) стоя­чей волны аргумент косинуса не зависит от х). При переходе через узел множитель 2Аcos(2px/l) меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на p, т. е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе.

Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волн. Например, если конец веревки за­крепить неподвижно, то отраженная в месте закрепления веревки волна будет интерферировать с бегущей волной и об­разует стоячую волну. На границе, где происходит отражение волны, в данном случае получается узел. Будет ли на гра­нице отражения узел или пучность, за­висит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отра­жение, менее плотная, то в месте отраже­ния получается пучность (рис. 222, а), ес­ли более плотная — узел (рис. 222, б). Об­разование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний противо­положных направлений, в результате чего получается узел. Если же волна отражает­ся от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит и у границы колеба­ния складываются с одинаковыми фаза­ми — получается пучность.

Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения пе­реносится энергия колебательного движе­ния. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, так как падающая и отражен­ная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. „Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заклю-

 

249

ченной между узловыми точками, остается постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных половине длины волны, происхо­дят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно.