§ 166.  Тонкие линзы. Изображение предметов с помощью линз

Раздел оптики, в котором законы распро­странения света рассматриваются на ос­нове представления о световых лучах, на­зывается геометрической оптикой. Под световыми лучами понимаются нормаль­ные к волновым поверхностям линии, вдоль которых распространяется поток световой энергии. Геометрическая оптика, оставаясь приближенным методом постро­ения изображений в оптических системах, позволяет разобрать основные явления, связанные с прохождением через них све­та, и является поэтому основой теории оптических приборов.

Линзы представляют собой прозрач­ные тела, ограниченные двумя поверхно­стями (одна из них обычно сферическая, иногда цилиндрическая, а вторая — сфе­рическая или плоская), преломляющими световые лучи, способные формировать оптические изображения предметов. Мате­риалом для линз служат стекло, кварц, кристаллы, пластмассы и т. п. По внешней форме (рис. 232) линзы делятся на: 1) двояковыпуклые; 2) плосковыпуклые; 3) двояковогнутые; 4) плосковогнутые; 5) выпукло-вогнутые; 6) вогнуто-выпук­лые. По оптическим свойствам линзы де­лятся на собирающие и рассеивающие.

Линза называется тонкой, если ее тол­щина (расстояние между ограничивающи­ми поверхностями) значительно меньше по сравнению с радиусами поверхностей, ограничивающих линзу. Прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы, называется главной оптической осью.

 

 

264

Для всякой линзы существует точка, называемая оптическим центром линзы,

лежащая на главной оптической оси и об­ладающая тем свойством, что лучи проходят сквозь нее не преломляясь. Для простоты оптический центр О линзы бу­дем считать совпадающим с геометричес­ким центром средней части линзы (это справедливо только для двояковыпуклой и двояковогнутой линз с одинаковыми радиусами кривизны обеих поверхностей; для плосковыпуклых и плосковогнутых линз оптический центр О лежит на пересе­чении главной оптической оси со сфериче­ской поверхностью).

Для вывода формулы тонкой линзы — соотношения, связывающего радиусы кри­визны R₁ и R₂ поверхностей линзы с рас­стояниями а и b от линзы до предмета и его изображения,— воспользуемся прин­ципом Ферма, или принципом наимень­шего времени: действительный путь рас­пространения света (траектория светового луча) есть путь, для прохождения которо­го свету требуется минимальное время по сравнению с любым другим мыслимым путем между теми же точками.

Рассмотрим две траектории светового луча (рис. 233) — прямую, соединяющую точки А к В (луч ЛОВ), и траекторию, проходящую через край линзы (луч АСВ),— воспользовавшись условием ра­венства времени прохождения света по этим траекториям. Время прохождения света по траектории AОВ

где N=n/n₁ — относительный показатель преломления (n и n₁ — соответственно аб­солютные показатели преломления линзы и окружающей среды). Время прохожде­ния света по траектории АСВ равно

Рассмотрим   параксиальные   (приосевые) лучи, т. е. лучи, образующие с опти­ческой осью малые углы. Только для па­раксиальных лучей получается стигмати­ческое изображение, т. е. все лучи па­раксиального пучка, исходящего из точки А, пересекают оптическую ось в одной и той же точке В. Тогда h<<(а+е), h<<(b+d) и

Аналогично,

Подставив         найденные         выражения в (166.1), получим

Для тонкой линзы е<<а и d<<b, поэто­му (166.2) можно представить в виде

 

265

Учитывая, что e=R₂ -Ö(R²-h²)=R₂-R₂ Ö(1-h²/R²₂)= R₂-R₂[1-¹/₂(h/R)²]=h²/(2R₂)         и         соответственно d=h²/(2R₁), получим

Выражение (166.3) представляет собой формулу тонкой линзы. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы считается по­ложительным, вогнутой — отрицательным. Если а=¥, т.е. лучи падают на лин­зу параллельным пучком (рис. 234. а), то

Соответствующее этому случаю расстоя­ние b=OF=f называется фокусным рас­стоянием линзы:

Оно зависит от относительного показателя преломления и радиусов кривизны.

Если b=¥, т.е. изображение нахо­дится в бесконечности и, следовательно, лучи выходят из линзы параллельным пуч­ком (рис. 234, б), то a=OF=f. Таким об­разом, фокусные расстояния линзы, окру­женной с обеих сторон одинаковой средой, равны. Точки F, лежащие по обе стороны линзы на расстоянии, равном фокусному, называются фокусами линзы. Фокус — это точка, в которой после преломления собираются  все лучи,  падающие  на линзу параллельно главной оптической оси. Величина

называется  оптической силой линзы.   Ее единица—диоптрия (дптр). Диоптрия— оптическая сила линзы с фокусным рас­стоянием 1 м: 1 дптр=1/м.

Линзы с положительной оптической си­лой являются собирающими, с отрицатель­ной — рассеивающими. Плоскости, прохо­дящие через фокусы линзы перпендику­лярно ее главной оптической оси, называ­ются фокальными плоскостями. В от­личие от собирающей рассеивающая лин­за имеет мнимые фокусы. В мнимом фокусе сходятся (после преломления) во­ображаемые продолжения лучей, падаю­щих на рассеивающую линзу параллельно главной оптической оси (рис.235).

Учитывая (166.4), формулу линзы (166.3) можно записать в виде

1/a+1/b=1/f

Для рассеивающей линзы расстояния f и b надо считать отрицательными.

Построение изображения предмета в линзах осуществляется с помощью сле­дующих лучей:

1) луча, проходящего через оптиче­ский центр линзы и не изменяющего свое­го направления;

2) луча, идущего параллельно глав­ной оптической оси; после преломления в линзе этот луч (или его продолжение) проходит через второй фокус линзы;

3) луча (или его продолжения), про­ходящего через первый фокус линзы; по-

 

 

266

сле преломления в ней он выходит из лин­зы параллельно ее главной оптической оси.

Для примера приведены построения изображений в собирающей (рис. 236) и в рассеивающей (рис. 237) линзах: дей­ствительное (рис. 236, а) и мнимое (рис. 236, б) изображения — в собираю­щей линзе, мнимое — в рассеивающей.

Отношение линейных размеров изо­бражения и предмета называется линей­ным увеличением линзы. Отрицательным значениям линейного увеличения соответ­ствует действительное изображение (оно перевернутое), положительным — мнимое изображение (оно прямое). Комбинации собирающих и рассеивающих линз при­меняются в оптических приборах, исполь­зуемых для решения различных научных и технических задач.