§ 177. Метод зон Френеля. Прямолинейное распространение света

Принцип Гюйгенса — Френеля в рамках волновой теории должен был ответить на вопрос о прямолинейном распространении света. Френель решил эту задачу, рас­смотрев взаимную интерференцию вторич­ных волн и применив прием, получивший название метода зон Френеля.

Найдем в произвольной точке М ам­плитуду световой волны, распространяю­щейся в однородной среде из точечного источника S (рис. 257). Согласно принци­пу Гюйгенса — Френеля, заменим дейст­вие источника S действием воображаемых

 

 

287

источников, расположенных на вспомога­тельной поверхности Ф, являющейся по­верхностью фронта волны, идущей из S (поверхность сферы с центром S). Фре­нель разбил волновую поверхность Ф на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до М отлича­лись на l/2, т. е. Р₁М-Р₀М=Р₂М -Р₁М=Р₃М-Р₂М=...=l/2. Подобное разбиение фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точке М

сферы радиусами b+l/2, b+2l/2, b+3l/2,

..., b+ml/2. Так как колебания от сосед­них зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на l/2, то в точку М они приходят в противоположной фазе и при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М

А=А₁-А₂+А₃-А₄+...±А_т,

(177.1)

где А₁, А₂, ..., А_m — амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й, ..., m-й зонами.

Для оценки амплитуд колебаний най­дем площади зон Френеля. Внешняя гра­ница m-й зоны выделяет на волновой по­верхности сферический сегмент высоты h_m (рис. 258). Обозначив площадь этого сег­мента через s_m, найдем, что площадь m-й зоны Френеля равна Ds_m=s_m-s_m-1 где s_m=1 — площадь сферического сегмен­та, выделяемого внешней границей (т-1)-й зоны. Из рисунка следует, что

r²_m= а²-(а-h_m)²=(b+ml/2)²-(b+h_m)².

(177.2) После элементарных преобразований, учитывая,

что l<<а и l<<b, получим

h_m=bml/2(a+b) (177.3)

Площадь сферического сегмента

s_m=2nph_m=pablm/(a+b),

а площадь m-й зоны Френеля

Ds_m=s_m-s_m-1=pabl/(a+b).    (177.4)

Выражение (177.4) не зависит от m; сле­довательно, при не слишком больших от площади зон Френеля одинаковы. Та­ким образом, построение зон Френеля раз­бивает волновую поверхность сферической волны на равные зоны.

Согласно предположению Френеля, действие отдельных зон в точке М тем меньше, чем больше угол j_m (рис. 258) между нормалью n к поверхности зоны и направлением на М, т. е. действие зон постепенно убывает от центральной (око­ло P₀) к периферическим (до нуля). Кроме того, интенсивность излучения в направле­нии точки М уменьшается с ростом т и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М. Учитывая оба этих фак­тора, можем записать

A₁>A₂>A₃>A₄>... .

Общее число зон Френеля, умещаю­щихся на полусфере, очень велико; напри­мер, при а=b=10 см и l=0,5 мкм N=2pa²/pabl(a+b)=8•10⁵. Поэтому в качестве допустимого приближения можно счи­тать, что амплитуда колебания А_т от неко­торой m-й зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкаю­щих к ней зон, т. е.

A_m=(A_m-1+A_m+1)/2.         (177.5)

Тогда выражение (177.1) можно записать в виде

 

 

288

так как выражения, стоящие в скобках, согласно (177.5), равны нулю, а оставша­яся часть от амплитуды последней зоны ± А_т/2 ничтожно мала.

Таким образом, амплитуда, создавае­мая в произвольной точке М сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной централь­ной зоной. Следовательно, действие всей волновой поверхности на точку М сводит­ся к действию ее малого участка, меньше­го центральной зоны.

Если в выражении (177.2) положим, что высота сегмента h_m<<a (при не слиш­ком больших т), тогда r²_m=2ah_m. Под­ставив сюда значение (177.3), найдем ра­диус внешней границы m-й зоны Френеля:

r_m=Ö(abml/(a+b)).  (177.7)

При а = b=10 см и l=0,5 мкм радиус первой (центральной) зоны r₁=0,158 мм. Следовательно, распростра­нение света от S к М происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, т. е. прямолинейно. Таким образом, принцип Гюйгенса — Френеля позволяет объяснить прямолинейное распростране­ние света в однородной среде.

Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экспериментально. Для этого используют­ся зонные пластинки — в простейшем слу­чае стеклянные пластинки, состоящие из системы чередующихся прозрачных и не­прозрачных концентрических колец, по­строенных по принципу расположения зон Френеля, т. е. с радиусами r_m зон Френеля, определяемыми выражением (177.7) для определенных значений а, b и l (m=0, 2, 4, ... для прозрачных и m=1, 3, 5, ... для непрозрачных колец). Если поместить зон­ную пластинку на расстоянии а от то­чечного источника и на расстоянии b от точки наблюдения на линии, соединяющей эти две точки, то для света длиной волны l она перекроет четные зоны и оставит сво­бодными нечетные начиная с центральной. В результате этого результирующая ам­плитуда А=А₁+A₃+A₅+ ... должна быть больше, чем при полностью открытом

фронте. Действительно, на опыте зонная пластинка во много раз увеличивает ин­тенсивность света в точке М, действуя подобно собирающей линзе.